Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
com condições iniciais
e
. O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos usar o método geral que consiste em obter a solução homogênea, depois uma solução particular e por fim aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é formada por
. A equação característica associada é
cuja solução é
. Assim, a solução homogênea fica
Passo 3
Como a forçante
tem a mesma frequência da homogênea (resonância), no método dos coeficientes indeterminados multiplicamos o palpite por
. Então escolhemos
Passo 4
Para determinar
e
calculamos
. Observa-se que os termos proporcionais a
se cancelam e resta
Igualando a
da equação original, temos
$$
-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)=\sin(2x).$$
Passo 5
Comparando coeficientes obtemos
logo
.
Portanto
logo
Portanto
Passo 6
A solução geral é
Calculamos a derivada
Aplicando as condições iniciais
e
obtemos
.