Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime+4 y=sin (2 x), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea y''+4y=sin(2x) com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos usar o método geral que consiste em obter a solução homogênea, depois uma solução particular e por fim aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é formada por y''+4y=0. A equação característica associada é
r^2+4=0
cuja solução é r=pm2i. Assim, a solução homogênea fica
yh(x)=c1cos(2x)+c2sin(2x)

Passo 3

Como a forçante sin(2x) tem a mesma frequência da homogênea (resonância), no método dos coeficientes indeterminados multiplicamos o palpite por x. Então escolhemos
yp(x)=xl(Acos(2x)+Bsin(2x)r)

Passo 4

Para determinar A e B calculamos yp''+4yp. Observa-se que os termos proporcionais a x se cancelam e resta
yp''+4yp=-4Asin(2x)+4Bcos(2x)
Igualando a sin(2x) da equação original, temos
$$
-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)=\sin(2x).$$

Passo 5

Comparando coeficientes obtemos
yp(x)=-tfracx4cos(2x)

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.
Portanto

Passo 6

A solução geral é
y(x)=c1cos(2x)+c2sin(2x)-tfracx4cos(2x)
Calculamos a derivada
y'(x)=-2c1sin(2x)+2c2cos(2x)-tfrac14cos(2x)+tfracx2sin(2x)
Aplicando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos

.

Resposta

y(x)=cos(2x)+tfrac18sin(2x)-tfracx4cos(2x)

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