Suponha que
seja uma equação homogênea. Mostre que a substituição
transforma a equação em uma com variáveis separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ que é homogênea. Nosso objetivo aqui é usar a substituição $ x = u \cdot v $ para transformar essa equação em uma que tenha variáveis separadas, ou seja, onde a gente consegue separar os termos que envolvem $ u $ dos que envolvem $ v $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações homogêneas e como a substituição pode ajudar a simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos $ x $ e $ y $. Isso geralmente permite que a gente faça substituições que simplificam a relação entre $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição $ x = u \cdot v $. Essa troca vai nos ajudar a expressar $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Mas, para substituir completamente na equação original, precisamos também expressar $ dy $ em termos de $ du $ e $ dv $.
Passo 4
Vamos derivar $ x = u \cdot v $ em relação a algum parâmetro (pode ser considerado como “tempo”, mas aqui é apenas uma formalidade). Usando a regra do produto, temos:
Agora, precisamos expressar $ dy $ de algum jeito semelhante. Uma abordagem comum é assumir que $ y = u \cdot f(v) $, mas para simplificar, podemos considerar $ y $ diretamente como uma função de $ u $ e $ v $.
Passo 5
Com as expressões para $ dx $ e $ dy $ em mãos, substituímos esses resultados na equação original $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $. Isso vai nos dar uma nova equação em termos de $ u $, $ v $, $ du $ e $ dv $.
Passo 6
A ideia é que, após a substituição, a equação resultante possa ser rearranjada de forma que todos os termos com $ u $ fiquem de um lado e os termos com $ v $ do outro. Isso é o que chamamos de variáveis separáveis, e facilita muito na hora de resolver a equação.
Passo 7
Finalmente, depois de separar as variáveis, podemos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. A integração vai nos dar uma relação entre $ u $ e $ v $, que, por sua vez, envolve $ x $ e $ y $ através da substituição inicial $ x = u \cdot v $.
Resposta
Assim, ao fazer a substituição $ x = u \cdot v $, conseguimos transformar a equação homogênea $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ em uma equação com variáveis separáveis, o que facilita sua resolução.