Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
0.37+0.0037+cdots+37(100)^n+cdots

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série geométrica converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a sua soma. Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e a fórmula para a soma delas quando convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observando a sequência:
0.37, 0.0037, 37100^n, ldots
Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o anterior por . Isso significa que essa é uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo
  • A razão comum

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão comum |r| = | 1100 | = 0.01 < 1 for menor que 1. Nesse caso:
Como , a série geométrica converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita dela usando a fórmula:
S = a11 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 0.371 - 0.01 = 0.370.99

Resposta

A série converge e a sua soma é .

Exercícios relacionados