Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série geométrica converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a sua soma. Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e a fórmula para a soma delas quando convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observando a sequência:
Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o anterior por . Isso significa que essa é uma série geométrica onde:
O primeiro termo
A razão comum
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1. Nesse caso:
Como , a série geométrica converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma infinita dela usando a fórmula: