Resolva a equação diferencial em série de potências de
(centrada em
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- encontrar a solução em série de potências centrada em
; - dar uma fórmula fechada para o termo geral de cada série (ou seja, para os coeficientes da série);
- indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações relevantes extraídas:
- a série será centrada em
; - termos da série terão potências inteiras de
; - pontos singulares da equação aparecem onde o coeficiente de
se anula, ou seja em (isso vai influenciar o raio de convergência).
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências centrada em
:
onde os coeficientes
são constantes a determinar. Vou calcular
e escrever as séries com índices convenientes.
Derivando termo a termo:
Reescrevo
com a potência
usando
:
Passo 3
Substituo
e
na equação
. Primeiro distribuo:
Agora cada termo em série:
- Para
:
- Para
: multiplica-se por ,
onde na última igualdade troquei
.
- Para
:
Somando tudo e agrupando potências
:
Separe os termos de
e os de
. Para
os dois somatórios se combinam; para
só entra o primeiro somatório. Assim, para todo
a condição de anulamento do coeficiente de
é
Passo 4
Simplifico a relação para
. Reescrevendo:
Logo
Observação:
. Substituindo:
Portanto a forma simplificada e válida (mesmo para
se tratar com cuidado) é
Vamos verificar explicitamente os primeiros coeficientes usando a equação original para
:
- Para
(coeficiente de ):
o que coincide com a fórmula acima para
:
- Para
(coeficiente de ):
o que coincide com a fórmula para
.
Observação importante: a recorrência relaciona coeficientes de mesma paridade:
e
. Assim as duas séries (par e ímpar) se desenvolvem independentemente, dando duas constantes livres
e
.
Passo 5
Analiso os coeficientes pares
. Defina
. A recorrência para
dá:
Calculo os primeiros:
Agora para
a fórmula dá
E então, se
, a recorrência implica
. Logo todos os coeficientes pares a partir de
são nulos. Portanto a parte par da solução é um polinômio de grau
:
Conferência rápida (substituir na EDO) confirma que é solução.
Passo 6
Agora analiso os coeficientes ímpares
. Defina
. A recorrência para
dá:
Com condição inicial
livre. Assim, para
,
Simplificando o produto de frações pares/ímpares resulta numa expressão com double factorials. Para
obtemos
Aqui usei as definições (para
)
e a convenção
para que o caso
funcione bem. Note que
(caso inicial) e para
vale a fórmula acima. Portanto, para
podemos escrever a parte ímpar da solução como
(Para
o termo da soma não aparece e o coeficiente é
.)
Se preferir uma forma que apresenta explicitamente
para
:
Passo 7
Juntando a parte par e ímpar, a solução geral (com constantes
e
) é
Aqui
são constantes arbitrárias fixadas pelas condições iniciais.
Passo 8
A equação tem coeficiente de
igual a
, que zera em
; portanto
são singularidades regulares da equação. Pelo teorema padrão sobre séries de potência para EDOs, a série centrada em
converge até o ponto singular mais próximo, isto é até a distância
. Assim o raio de convergência é
e a solução em série é válida para
, ou seja no intervalo