Resolva a equação diferencial em série de potências de x (centrada em x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
\left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(4-x^{2})y''+2y=0,
e pede:
  • encontrar a solução em série de potências centrada em x_{0}=0;
  • dar uma fórmula fechada para o termo geral de cada série (ou seja, para os coeficientes da série);
  • indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações relevantes extraídas:
  • a série será centrada em 0;
  • termos da série terão potências inteiras de x;
  • pontos singulares da equação aparecem onde o coeficiente de y'' se anula, ou seja em x=\pm 2 (isso vai influenciar o raio de convergência).

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
onde os coeficientes a_n são constantes a determinar. Vou calcular y'' e escrever as séries com índices convenientes.
Derivando termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}.
Reescrevo y'' com a potência x^{m} usando m=n-2:
y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m}.

Passo 3

Substituo y e y'' na equação (4-x^{2})y''+2y=0. Primeiro distribuo:
4y'' - x^{2}y'' + 2y = 0.
Agora cada termo em série:
  • Para 4y'':
4y''=4\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m}.
  • Para -x^{2}y'': multiplica-se por x^{2},
-x^{2}y''=-\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^{m+2} =-\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)a_{k}x^{k},
onde na última igualdade troquei k=m+2.
  • Para 2y:
2y=2\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}.
Somando tudo e agrupando potências x^{m}:
\sum_{m=0}^{\infty}\Big(4(m+2)(m+1)a_{m+2}+2a_{m}\Big)x^{m} -\sum_{m=2}^{\infty}m(m-1)a_{m}x^{m}=0.
Separe os termos de m=0,1 e os de m\ge 2. Para m\ge 2 os dois somatórios se combinam; para m=0,1 só entra o primeiro somatório. Assim, para todo m\ge 2 a condição de anulamento do coeficiente de x^{m} é
4(m+2)(m+1)a_{m+2}+2a_{m}-m(m-1)a_{m}=0.

Passo 4

Simplifico a relação para m\ge 2. Reescrevendo:
4(m+2)(m+1)a_{m+2}+\big(2-m(m-1)\big)a_{m}=0.
Logo
a_{m+2}=-\frac{2-m(m-1)}{4(m+2)(m+1)}a_{m}.
Observação: 2-m(m-1)=-(m^{2}-m-2)=-(m-2)(m+1). Substituindo:
a_{m+2}=\frac{(m-2)(m+1)}{4(m+2)(m+1)}a_{m}=\frac{m-2}{4(m+2)}a_{m}.
Portanto a forma simplificada e válida (mesmo para m=0,1 se tratar com cuidado) é
\boxed{\,a_{m+2}=\frac{m-2}{4(m+2)}\,a_{m}\,,\quad m\ge 0.}
Vamos verificar explicitamente os primeiros coeficientes usando a equação original para m=0,1:
  • Para m=0 (coeficiente de x^{0}):
4\cdot 2\cdot 1\,a_{2}+2a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad 8a_{2}+2a_{0}=0
\Rightarrow\quad a_{2}=-\frac{a_{0}}{4},
o que coincide com a fórmula acima para m=0:
  • Para m=1 (coeficiente de x^{1}):
4\cdot 3\cdot 2\,a_{3}+2a_{1}=0\quad\Rightarrow\quad 24a_{3}+2a_{1}=0
\Rightarrow\quad a_{3}=-\frac{a_{1}}{12},
o que coincide com a fórmula para m=1.
Observação importante: a recorrência relaciona coeficientes de mesma paridade: a_{0}\to a_{2}\to a_{4}\to\cdots e a_{1}\to a_{3}\to a_{5}\to\cdots. Assim as duas séries (par e ímpar) se desenvolvem independentemente, dando duas constantes livres a_{0} e a_{1}.

Passo 5

Analiso os coeficientes pares a_{2k}. Defina b_{k}=a_{2k}. A recorrência para m=2k dá:
b_{k+1}=a_{2(k+1)}=\frac{2k-2}{4(2k+2)}a_{2k}=\frac{k-1}{4(k+1)}b_{k}.
Calculo os primeiros:
b_{0}=a_{0}\quad(\text{livre}),\qquad b_{1}=a_{2}=-\frac{a_{0}}{4}.
Agora para k=1 a fórmula dá
b_{2}=\frac{k-1}{4(k+1)}b_{1}=\frac{0}{\cdot}b_{1}=0.
E então, se b_{2}=0, a recorrência implica b_{3}=b_{4}=\cdots=0. Logo todos os coeficientes pares a partir de a_{4} são nulos. Portanto a parte par da solução é um polinômio de grau 2:
y_{\text{par}}(x)=a_{0}\left(1+\frac{a_{2}}{a_{0}}x^{2}\right)=a_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right).
Conferência rápida (substituir na EDO) confirma que é solução.

Passo 6

Agora analiso os coeficientes ímpares a_{2k+1}. Defina c_{k}=a_{2k+1}. A recorrência para m=2k+1 dá:
c_{k+1}=a_{2(k+1)+1}=a_{2k+3}=\frac{2k-1}{4(2k+3)}a_{2k+1}=\frac{2k-1}{4(2k+3)}c_{k}.
Com condição inicial c_{0}=a_{1} livre. Assim, para k\ge 1,
c_{k}=a_{1}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j-1}{4(2j+3)}.
Simplificando o produto de frações pares/ímpares resulta numa expressão com double factorials. Para k\ge 1 obtemos
\begin{aligned} c_{k} &=a_{1}\frac{1}{4^{k}}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j-1}{2j+3} = -\,a_{1}\,\frac{(2k-3)!!}{4^{k}(2k+1)!!}. \end{aligned}
Aqui usei as definições (para n\ge 0)
(2n+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1),
e a convenção (-1)!!=1 para que o caso k=1 funcione bem. Note que c_{0}=a_{1} (caso inicial) e para k\ge 1 vale a fórmula acima. Portanto, para k\ge 0 podemos escrever a parte ímpar da solução como
y_{\text{ímpar}}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}x^{2k+1} = a_{1}\left(x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{4^{k}(2k+1)!!}\,x^{2k+1}\right).í
(Para k=0 o termo da soma não aparece e o coeficiente é a_{1}.)
Se preferir uma forma que apresenta explicitamente a_{2k+1} para k\ge 1:
\boxed{\,a_{2k+1}=-a_{1}\,\frac{(2k-3)!!}{4^{k}(2k+1)!!}\,,\quad k\ge 1,\quad a_{1}\\ \text{livre},\quad a_{1}=a_{1}.}

Passo 7

Juntando a parte par e ímpar, a solução geral (com constantes C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1}) é
\boxed{\,y(x)=C_{1}\Big(1-\dfrac{x^{2}}{4}\Big) + C_{2}\Bigg(x-\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(2k-3)!!}{4^{k}(2k+1)!!}\,x^{2k+1}\Bigg)\,.}
Aqui C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias fixadas pelas condições iniciais.

Passo 8

A equação tem coeficiente de y'' igual a 4-x^{2}, que zera em x=\pm 2; portanto x=\pm 2 são singularidades regulares da equação. Pelo teorema padrão sobre séries de potência para EDOs, a série centrada em 0 converge até o ponto singular mais próximo, isto é até a distância 2. Assim o raio de convergência é 2 e a solução em série é válida para |x|<2, ou seja no intervalo
\boxed{(-2,2).}

Resposta

y(x)=C_{1}\Big(1-\dfrac{x^{2}}{4}\Big) + C_{2}\Bigg(x-\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(2k-3)!!}{4^{k}(2k+1)!!}\,x^{2k+1}\Bigg)
\text{Intervalo de validade: }|x|<2\\ (\text{ou }x\in(-2,2)).

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