Resolva a equação diferencial em série de potências de
(centrada em
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- encontrar a solução em séries de potências centrada em
; - escrever uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução (ou seja, para os termos pares e ímpares);
- indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais, portanto admite solução por séries de potências em torno de
. - Espera-se duas constantes arbitrárias (duas condições iniciais) porque é uma equação de segunda ordem.
- Vamos procurar
na forma de uma série de potências centrada em : , com e livres.
Passo 2
Vamos supor a solução na forma de série de potências:
onde
são constantes a determinar. Isso significa que a solução será dada pela soma de uma série par (termos de potência par) e uma série ímpar (termos de potência ímpar), controladas por
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas termoa-termo e recindexemos para ter potências
alinhadas:
Passo 4
Substituindo na equação
obtemos termo a termo:
Escrevendo cada série com potências
:
-
-
(reindexando: note que com .) -
-
Agora somamos as contribuições para o coeficiente de
.
Passo 5
Coeficiente de
(para
) da soma deve ser zero. Para
todas as séries contribuem; para
alguns termos não existem, então tratamos estes casos separadamente.
Para
, somando os coeficientes:
Simplificando o coeficiente multiplicando
:
Logo para
obtemos a relação de recorrência
ou equivalentemente
(essa fórmula vale para
se interpretarmos corretamente os termos; veremos os casos iniciais a seguir.)
Agora tratemos
e
explicitamente (podemos obter as mesmas relações pelo caso geral, mas é didático ver os primeiros coeficientes):
- Para
:
- Para
:
Essas duas igualdades coincidem com a fórmula de recorrência aplicada em
e
.
Passo 6
Observação importante sobre a recorrência: ela relaciona
com
. Assim os coeficientes pares dependem apenas de
e os ímpares apenas de
. Vamos seguir cada paridade separadamente.
Sequência dos coeficientes pares:
- Para
já tínhamos . - Agora tome
na recorrência:
Como
, o termo seguinte
(obtido usando
) terá fator
e também será zero; por indução, todos os
com
são zero. Portanto a sequência par termina: apenas
e
podem ser não nulos. Logo
Sequência dos coeficientes ímpares:
- Para
já tínhamos . - Para
a recorrência dá:
Assim
e, por indução, todos os
com
são zero. Portanto a sequência ímpar também termina: apenas
e
podem ser não nulos. Logo
Portanto as duas séries são, de fato, polinômios truncados.
Passo 7
Escrevendo as duas soluções independentes (uma controlada por
e outra por
):
- Solução associada a
(termos pares):
- Solução associada a
(termos ímpares):
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Breve verificação (opcional, mas pedagógica): derivando
e
e substituindo na equação, cada um oscila para zero, confirmando que são soluções.
Passo 8
Intervalo (ou raio) de validade: os coeficientes da equação são polinomiais (analíticos em todo
), e as soluções encontradas são polinômios de grau finito; portanto as séries convergem para todo
. Logo a solução é válida em todo o eixo real, isto é, no intervalo