Resolva a equação diferencial em série de potências de x (centrada em x_{0}=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x^{2})y''-4x y'+6y=0,
e pede:
  • encontrar a solução em séries de potências centrada em x_{0}=0;
  • escrever uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução (ou seja, para os termos pares e ímpares);
  • indicar um intervalo onde a solução é válida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais, portanto admite solução por séries de potências em torno de 0.
  • Espera-se duas constantes arbitrárias (duas condições iniciais) porque é uma equação de segunda ordem.
  • Vamos procurar y na forma de uma série de potências centrada em 0: y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, com a_0 e a_1 livres.

Passo 2

Vamos supor a solução na forma de série de potências:
y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,
onde a_n são constantes a determinar. Isso significa que a solução será dada pela soma de uma série par (termos de potência par) e uma série ímpar (termos de potência ímpar), controladas por a_0 e a_1.

Passo 3

Calculemos as derivadas termoa-termo e recindexemos para ter potências x^n alinhadas:
y'=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n,
y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.

Passo 4

Substituindo na equação (1+x^{2})y''-4x y'+6y=0 obtemos termo a termo:
y'' + x^2 y'' -4x y' +6y = 0.
Escrevendo cada série com potências x^n:
  • y''=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.
  • x^2 y''=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n. (reindexando: note que (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+2} = k(k-1)a_k x^k com k=n+2.)
  • -4x y'=-4\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n.
  • 6y=6\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
Agora somamos as contribuições para o coeficiente de x^n.

Passo 5

Coeficiente de x^n (para n\ge 0) da soma deve ser zero. Para n\ge 2 todas as séries contribuem; para n=0,1 alguns termos não existem, então tratamos estes casos separadamente.
Para n\ge 2, somando os coeficientes:
(n+2)(n+1)a_{n+2} + n(n-1)a_n -4n a_n +6 a_n =0.
Simplificando o coeficiente multiplicando a_n:
n(n-1)-4n+6 = n^2 -5n +6 = (n-2)(n-3).
Logo para n\ge 2 obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (n-2)(n-3)a_n =0,
ou equivalentemente
\boxed{a_{n+2} = -\frac{(n-2)(n-3)}{(n+2)(n+1)}\,a_n,\qquad n\ge 0.}
(essa fórmula vale para n=0,1,2,\dots se interpretarmos corretamente os termos; veremos os casos iniciais a seguir.)
Agora tratemos n=0 e n=1 explicitamente (podemos obter as mesmas relações pelo caso geral, mas é didático ver os primeiros coeficientes):
  • Para n=0:
(0+2)(0+1)a_2 +6 a_0 =0 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 +6 a_0=0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -3 a_0.
  • Para n=1:
(1+2)(1+1)a_3 +(-4\cdot1+6)a_1=0 \quad\Rightarrow\quad 6 a_3 +2 a_1 =0 \quad\Rightarrow\quad a_3 = -\tfrac{1}{3} a_1.
Essas duas igualdades coincidem com a fórmula de recorrência aplicada em n=0 e n=1.

Passo 6

Observação importante sobre a recorrência: ela relaciona a_{n+2} com a_n. Assim os coeficientes pares dependem apenas de a_0 e os ímpares apenas de a_1. Vamos seguir cada paridade separadamente.
Sequência dos coeficientes pares:
  • Para n=0 já tínhamos a_2=-3a_0.
  • Agora tome n=2 na recorrência:
a_4 = -\frac{(2-2)(2-3)}{(4)(3)} a_2 = -\frac{0\cdot(-1)}{12} a_2 = 0.
Como a_4=0, o termo seguinte a_6 (obtido usando n=4) terá fator a_4 e também será zero; por indução, todos os a_{2m} com m\ge 2 são zero. Portanto a sequência par termina: apenas a_0 e a_2 podem ser não nulos. Logo
a_0\\ \text{livre},\qquad a_2=-3 a_0,\qquad a_{2m}=0\\ \text{para }m\ge 2.
Sequência dos coeficientes ímpares:
  • Para n=1 já tínhamos a_3=-\tfrac{1}{3}a_1.
  • Para n=3 a recorrência dá:
a_5 = -\frac{(3-2)(3-3)}{(5)(4)} a_3 = -\frac{1\cdot 0}{20} a_3 = 0.
Assim a_5=0 e, por indução, todos os a_{2m+1} com m\ge 2 são zero. Portanto a sequência ímpar também termina: apenas a_1 e a_3 podem ser não nulos. Logo
a_1\\ \text{livre},\qquad a_3=-\tfrac{1}{3} a_1,\qquad a_{2m+1}=0\\ \text{para }m\ge 2.
Portanto as duas séries são, de fato, polinômios truncados.

Passo 7

Escrevendo as duas soluções independentes (uma controlada por a_0 e outra por a_1):
  • Solução associada a a_0 (termos pares):
y_{\text{par}}=a_0\bigl(1 -3 x^2\bigr).
  • Solução associada a a_1 (termos ímpares):
y_{\text{ímpar}}=a_1\left(x -\tfrac{1}{3}x^3\right).í
Como são duas soluções linearmente independentes, a solução geral é
\boxed{y(x)=C_1\bigl(1-3x^2\bigr)+C_2\left(x-\tfrac{1}{3}x^3\right),}
onde C_1=a_0 e C_2=a_1 são constantes arbitrárias.
Breve verificação (opcional, mas pedagógica): derivando y_{\text{par}} e y_{\text{ímpar}}í e substituindo na equação, cada um oscila para zero, confirmando que são soluções.

Passo 8

Intervalo (ou raio) de validade: os coeficientes da equação são polinomiais (analíticos em todo \mathbb{R}), e as soluções encontradas são polinômios de grau finito; portanto as séries convergem para todo x\in\mathbb{R}. Logo a solução é válida em todo o eixo real, isto é, no intervalo
\boxed{(-\infty,\infty).}

Resposta

a_{2}= -3a_{0},\quad a_{2m}=0\\ \text{para }m\ge 2;\n a_{3} = -\tfrac{1}{3}a_{1},\quad a_{2m+1}=0\\ \text{para }m\ge 2.\n y(x)=C_{1}\bigl(1-3x^{2}\bigr)+C_{2}\bigl(x-\tfrac{1}{3}x^{3}\bigr).\nIntervalo de validade: (-\infty,\infty).

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