Resolva a equação diferencial em série de potências de x em torno do x_{0} dado. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros termos em cada uma das soluções LI.
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+x y=0, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x y'' + y' + x y = 0
e pede:
  • encontrar a relação de recorrência para uma solução em série de potências em torno de x_{0}=1;
  • obter os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (LI).
Informações relevantes fornecidas:
  • a equação é válida para x perto de 1;
  • a expansão pedida é em torno de x_{0}=1.

Passo 2

Para desenvolver a solução em série em torno de x_{0}=1 é conveniente usar a variável deslocamento
s = x-1,
ou seja, expandir em potências de s. Escrevo a solução como uma série de potências centrada em s=0:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n.
Agora calculemos as derivadas necessárias. Lembre que ao derivar uma série do tipo \sum a_n s^n vem o fator n e o expoente diminui em 1:
y'=\frac{dy}{dx}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n s^{\,n-1},
y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n s^{\,n-2}.

Passo 3

A equação original pode ser escrita em termos de s como
x y'' + y' + x y = (1+s)y'' + y' + (1+s)y = 0.
Substituindo as séries obtidas em cada termo e reorganizando por potências de s:
Termo y'':
y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n s^{\,n-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2}s^{m},
onde se fez a troca m=n-2.
Termo s y'':
s y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n s^{\,n-1} = \sum_{m=1}^{\infty} (m+1)m a_{m+1}s^{m},
onde m=n-1.
Termo y':
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n s^{\,n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1}s^{m},
onde m=n-1.
Termo y:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^{n}.
Termo s y:
s y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^{n+1} = \sum_{m=1}^{\infty} a_{m-1} s^{m},
onde m=n+1.

Passo 4

Agora somamos todos os contributions por potência s^{m}. Para m\ge 1 o coeficiente de s^{m} é
(m+2)(m+1)a_{m+2} \;+\; (m+1)m a_{m+1} \;+\; (m+1)a_{m+1} \;+\; a_m \;+\; a_{m-1}=0.
Observe que os dois termos com a_{m+1} se combinam:
(m+1)m a_{m+1} + (m+1)a_{m+1} = (m+1)^2 a_{m+1}.
Portanto, para m\ge 1 obtemos a relação
(m+2)(m+1)a_{m+2} + (m+1)^2 a_{m+1} + a_m + a_{m-1} = 0.
Isolando a_{m+2},
\boxed{\,a_{m+2} = -\frac{(m+1)^2 a_{m+1} + a_m + a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}\quad (m\ge 1).\,}
Para m=0 (coeficiente de s^{0}) há uma equação especial (porque alguns somatórios começam em m=1):
2 a_2 + a_1 + a_0 = 0,
ou seja
\boxed{\,a_2 = -\frac{a_1 + a_0}{2}\,.}
Essa é a condição inicial que permite iniciar a recorrência.

Passo 5

Interpretação prática: a solução em série é determinada por a_0 e a_1 arbitrários (constantes de integração). Estas duas constantes geram duas soluções linearmente independentes, que formam uma base de soluções. Vamos construir as duas soluções escolhendo as condições iniciais padrão:
  • solução y^{(1)} com a_0=1,\\ a_1=0;
  • solução y^{(2)} com a_0=0,\\ a_1=1.
Calcularemos os primeiros coeficientes usando a relação de m=0 e a recorrência para m\ge1.

Passo 6

Solução 1: a_0=1,\\ a_1=0.
Usando m=0:
2 a_2 + a_1 + a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 + 0 + 1 =0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -\tfrac{1}{2}.
Agora m=1 na fórmula geral:
(m=1):\quad 6 a_3 + (2)^2 a_2 + a_1 + a_0 =0
ou seja
6 a_3 + 4 a_2 + 0 + 1 =0.
Substituindo a_2=-\tfrac{1}{2}:
6 a_3 + 4\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 1 = 6 a_3 -2 +1 =6 a_3 -1 =0 \quad\Rightarrow\quad a_3 = \tfrac{1}{6}.
Agora m=2:
(m=2):\quad 12 a_4 + 9 a_3 + a_2 + a_1 =0.
Substituindo a_3=\tfrac{1}{6},\\ a_2=-\tfrac{1}{2},\\ a_1=0:
12 a_4 + 9\!\left(\tfrac{1}{6}\right) -\tfrac{1}{2} + 0 = 12 a_4 + \tfrac{3}{2} -\tfrac{1}{2} = 12 a_4 +1 =0,
logo
a_4 = -\tfrac{1}{12}.
Assim os primeiros quatro termos (coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3) da primeira solução são:
a_0=1,\quad a_1=0,\quad a_2=-\tfrac{1}{2},\quad a_3=\tfrac{1}{6}.
Portanto, em termos de s=x-1,
y^{(1)} = 1 \;-\; \tfrac{1}{2}s^{2} \;+\; \tfrac{1}{6}s^{3} \;+\; \cdots.

Passo 7

Solução 2: a_0=0,\\ a_1=1.
Usando m=0:
2 a_2 + a_1 + a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 a_2 + 1 + 0 =0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -\tfrac{1}{2}.
m=1:
6 a_3 + 4 a_2 + a_1 + a_0 =0
6 a_3 + 4\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 1 + 0 = 6 a_3 -2 +1 = 6 a_3 -1 =0 \quad\Rightarrow\quad a_3 = \tfrac{1}{6}.
m=2:
12 a_4 + 9 a_3 + a_2 + a_1 =0.
Substituindo a_3=\tfrac{1}{6},\\ a_2=-\tfrac{1}{2},\\ a_1=1:
12 a_4 + 9\!\left(\tfrac{1}{6}\right) -\tfrac{1}{2} + 1 = 12 a_4 + \tfrac{3}{2} -\tfrac{1}{2} +1 = 12 a_4 +2 =0,
logo
a_4 = -\tfrac{1}{6}.
Assim os primeiros quatro coeficientes a_0,a_1,a_2,a_3 da segunda solução são:
a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=-\tfrac{1}{2},\quad a_3=\tfrac{1}{6}.
Portanto, em termos de s=x-1,
y^{(2)} = s \;-\; \tfrac{1}{2}s^{2} \;+\; \tfrac{1}{6}s^{3} \;+\; \cdots.

Passo 8

Resumo prático:
  • a relação de recorrência (para m\ge1) é
\boxed{\,a_{m+2} = -\dfrac{(m+1)^2 a_{m+1} + a_m + a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}\,}
com a condição inicial especial
\boxed{\,a_2 = -\dfrac{a_1 + a_0}{2}\,.}
  • as duas soluções linearmente independentes com os quatro primeiros termos (em s=x-1) são dadas abaixo.

Resposta

y^{(1)}(x)=1 \;-\; \dfrac{1}{2}(x-1)^{2} \;+\; \dfrac{1}{6}(x-1)^{3} \;+\; \cdots
y^{(2)}(x)=(x-1) \;-\; \dfrac{1}{2}(x-1)^{2} \;+\; \dfrac{1}{6}(x-1)^{3} \;+\; \cdots

Exercícios relacionados