Resolva a equação diferencial em série de potências de
em torno do
dado. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros termos em cada uma das soluções LI.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- encontrar a relação de recorrência para uma solução em série de potências em torno de
; - obter os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (LI).
Informações relevantes fornecidas:
- a equação é válida para
perto de ; - a expansão pedida é em torno de
.
Passo 2
Para desenvolver a solução em série em torno de
é conveniente usar a variável deslocamento
ou seja, expandir em potências de
. Escrevo a solução como uma série de potências centrada em
:
Agora calculemos as derivadas necessárias. Lembre que ao derivar uma série do tipo
vem o fator
e o expoente diminui em 1:
Passo 3
A equação original pode ser escrita em termos de
como
Substituindo as séries obtidas em cada termo e reorganizando por potências de
:
Termo
:
onde se fez a troca
.
Termo
:
onde
.
Termo
:
onde
.
Termo
:
Termo
:
onde
.
Passo 4
Agora somamos todos os contributions por potência
. Para
o coeficiente de
é
Observe que os dois termos com
se combinam:
Portanto, para
obtemos a relação
Isolando
,
Para
(coeficiente de
) há uma equação especial (porque alguns somatórios começam em
):
ou seja
Essa é a condição inicial que permite iniciar a recorrência.
Passo 5
Interpretação prática: a solução em série é determinada por
e
arbitrários (constantes de integração). Estas duas constantes geram duas soluções linearmente independentes, que formam uma base de soluções. Vamos construir as duas soluções escolhendo as condições iniciais padrão:
- solução
com ; - solução
com .
Calcularemos os primeiros coeficientes usando a relação de
e a recorrência para
.
Passo 6
Solução 1:
.
Usando
:
Agora
na fórmula geral:
ou seja
Substituindo
:
Agora
:
Substituindo
:
logo
Assim os primeiros quatro termos (coeficientes
) da primeira solução são:
Portanto, em termos de
,
Passo 7
Solução 2:
.
Usando
:
Substituindo
:
logo
Assim os primeiros quatro coeficientes
da segunda solução são:
Portanto, em termos de
,
Passo 8
Resumo prático:
- a relação de recorrência (para
) é
com a condição inicial especial
- as duas soluções linearmente independentes com os quatro primeiros termos (em
) são dadas abaixo.