Resolva a equação diferencial com substituição apropriada.
d yd x=yx+y^2x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = yx + y^2x^2 + 1
Este é um problema de EDO de primeira ordem que admite a substituição
v = yx
para se transformar em uma equação separável.

Passo 2

Definimos v = yx, logo y = vx. Diferenciando em relação a x temos
dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo y = vx e dydx=v + xdvdx na equação original, obtemos
v + xdvdx = vxx + v^2x^2x^2 + 1 = v + v^2 + 1
Cancelando v dos dois lados sobra
xdvdx = v^2 + 1

Passo 4

Rearranjamos para separar variáveis:
dvv^2+1 = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dvv^2+1 = integral dxx Longrightarrow arctan(v) = lnl|xr| + C

Passo 6

Voltando à variável original, v = y/x, temos
arctan!l(tfracyxr) = lnl|xr| + C Longrightarrow yx = tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
e, portanto,
y(x) = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)

Resposta

boxedy(x) = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr),
com C constante arbitrária.

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