Resolva a equação diferencial sujeita à condição inicial indicada.
(y^{2} \cos x-3 x^{2} y-2 x) d x+\left(2 y \sin x-x^{3}+\ln y\right) d y=0 , y(0)=e
(y^{2} \cos x-3 x^{2} y-2 x) d x+\left(2 y \sin x-x^{3}+\ln y\right) d y=0 , y(0)=e
Passo 1
Estamos lidando com a equação diferencial
e a condição inicial
. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: precisamos verificar se existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Para testar exatidão, definimos
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=2y\cos x - 3x^{2},\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y\cos x - 3x^{2}.
$$
Como , a equação é exata.
Como
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
$$\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y)=y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x.
\Psi(x,y)=\int(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x),dx = y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + h(y),
$$
onde é uma função a determinar.
onde
Passo 4
Agora impondo
e comparando com
, obtemos
$$h’(y)=\ln y\quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int\ln y,dy = y\ln y - y.
\Psi(x,y)=y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y.
$$
Passo 5
A solução geral é
. Assim,
Usando
em
dá
$$0 - 0 - 0 + e\ln e - e = 0 \ \Rightarrow C=0.
$$
Portanto a solução particular satisfaz
Portanto a solução particular satisfaz
Passo 6
implicitamente a condição inicial.
Resposta
y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y = 0