Resolva a equação diferencial sujeita à condição inicial indicada.
(y^{2} \cos x-3 x^{2} y-2 x) d x+\left(2 y \sin x-x^{3}+\ln y\right) d y=0 , y(0)=e

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial
(y^2cos x - 3x^2y - 2x),dx + (2ysin x - x^3 + ln y),dy = 0
e a condição inicial y(0)=e. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: precisamos verificar se existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partialPsi/partial x = M(x,y) e partialPsi/partial y = N(x,y).

Passo 2

Para testar exatidão, definimos
M(x,y)=y^2cos x - 3x^2y - 2x, N(x,y)=2ysin x - x^3 + ln y
Calculamos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=2y\cos x - 3x^{2},\quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y\cos x - 3x^{2}.
$$
Como partial Mpartial y=2ycos x - 3x^2, partial Npartial x=2ycos x - 3x^2 , a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y)=y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x.
partialPsipartial x=M(x,y)=y^2cos x - 3x^2y - 2x çã
\Psi(x,y)=\int(y^{2}\cos x - 3x^{2}y - 2x),dx = y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + h(y),
$$
onde x é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impondo
partialPsipartial y=2ysin x - x^3 + h'(y)
e comparando com N(x,y)=2ysin x - x^3 + ln y, obtemos
$$h’(y)=\ln y\quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int\ln y,dy = y\ln y - y.
h'(y)=ln yLongrightarrow h(y)=integralln y,dy = yln y - y
\Psi(x,y)=y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y.
$$

Passo 5

A solução geral é Psi(x,y)=C. Assim,
y^2sin x - x^3y - x^2 + yln y - y = C
Usando y(0)=e em x=0,y=e
$$0 - 0 - 0 + e\ln e - e = 0 \ \Rightarrow C=0.
$$
Portanto a solução particular satisfaz

Passo 6

implicitamente a condição inicial.

Resposta

y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y = 0

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