Verifique se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva.
’
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de equações exatas, que consiste em reescrever a equação na forma
checar se
e, sendo exata, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Reescrevendo
em forma diferencial, isolamos tudo de um lado:
Multiplicando por
, obtemos
Assim, identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por exatidão existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Agora impomos
Igualando, obtemos
Integramos em relação a
:
Passo 6
Logo, a função potencial completa é
e a solução geral implícita da equação diferencial é
isto é