Verifique se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva.
(1-2 x^2-2 y) d yd x=4 x^3+4 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(1 - 2x^2 - 2yr),dydx = 4x^3 + 4x y
e pede para verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de equações exatas, que consiste em reescrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
checar se partial M/partial y = partial N/partial x e, sendo exata, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que ,dF = M,dx + N,dy = 0.

Passo 2

Reescrevendo
l(1 - 2x^2 - 2yr),dydx = 4x^3 + 4x y
em forma diferencial, isolamos tudo de um lado:
4x^3 + 4x y ;-;l(1 - 2x^2 - 2yr),dydx = 0
Multiplicando por dx, obtemos
l(4x^3 + 4x yr),dx ;-;l(1 - 2x^2 - 2yr),dy = 0
Assim, identificamos
M(x,y) = 4x^3 + 4x y, N(x,y) = -l(1 - 2x^2 - 2yr) = -1 + 2x^2 + 2y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(4x^3 + 4x y) = 4x,
partial Npartial x = partialpartial x(-1 + 2x^2 + 2y) = 4x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = 4x^3 + 4x y
Integramos em relação a x:
F(x,y) = integral l(4x^3 + 4x yr),dx = x^4 + 2x^2 y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 5

Agora impomos
partial Fpartial y = 2x^2 + h'(y) stackrel!= N(x,y) = -1 + 2x^2 + 2y
Igualando, obtemos
2x^2 + h'(y) = 2x^2 + 2y - 1 Longrightarrow h'(y) = 2y - 1
Integramos em relação a y:
h(y) = integral (2y - 1),dy = y^2 - y + C1

Passo 6

Logo, a função potencial completa é
F(x,y) = x^4 + 2x^2 y + y^2 - y,
e a solução geral implícita da equação diferencial é
F(x,y) = C,
isto é
x^4 + 2x^2 y + y^2 - y = C

Resposta

x^4 + 2x^2 y + y^2 - y = C

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