Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas.
f^{\prime}(x)=12 x^{2}-6 x+1 ; \quad f(t)=5

Passo 1

O enunciado fornece a derivada \,f'(x)=12x^2-6x+1\, e a condição inicial \,f(t)=5\,. Vamos usar integração de polinômio para obter f(x).

Passo 2

Integramos \,f'(x):
\int\bigl(12x^2-6x+1\bigr)\,dx =4x^3-3x^2+x+C,
logo \,f(x)=4x^3-3x^2+x+C\,.

Passo 3

Impondo a condição \,f(t)=5\, obtemos
4t^3-3t^2+t+C=5
e, portanto, \,C=5-\bigl(4t^3-3t^2+t\bigr).

Passo 4

Substituindo C em f(x) resulta
f(x)=4x^3-3x^2+x+5-\bigl(4t^3-3t^2+t\bigr).

Resposta

f(x)=4x^3-3x^2+x+5-4t^3+3t^2-t.

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