Resolva a equação diferencial com transformada de Laplace:
y^prime prime(t)+4 y(t)=f(t)
onde as condições iniciais são y(0)=0 e y^prime(0)=0, f(t)=0, t in[0,1], f(t)=1, t in[1, infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''(t) + 4y(t) = f(t) com y(0)=0, y'(0)=0 e força f(t)=0 para 0<= t<1 e f(t)=1 para t>=1. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Como y(0)=y'(0)=0, temos
Ly''(t) = s^2Y(s), L4y(t) = 4Y(s)
Logo,
s^2Y(s) + 4Y(s) = Lf(t)

Passo 3

Agora calculamos F(s)=Lf(t). Como f(t)=1 só a partir de t=1,
F(s)=integral1^infty e^-st,dt = gl[-1se^-stgr]1^infty = e^-ss
Então a equação em s vira
Y(s)(s^2+4) = e^-ss implies Y(s) = e^-ss(s^2+4)

Passo 4

Para inverter, reconhecemos a forma Y(s)=e^-sH(s). Pela propriedade de deslocamento,
h(t)=L^-1H(s), y(t) = u(t-1),h(t-1),
onde H(s)=1/(s(s^2+4)) e u(t-1) é o degrau em t=1.

Passo 5

Para achar h(t), fazemos frações parciais em
H(s) = 1s(s^2+4) = As + Bs+Cs^2+4
Igualando numeradores:
1 = A(s^2+4)+(Bs+C)s = (A+B)s^2 + Cs +4A
Logo A+B=0, C=0 e 4A=1 levam a A=1/4, B=-1/4. Assim
H(s)=14s - 14ss^2+4

Passo 6

Agora invertendo cada parte:
L^-11/(4s) = 14, L^-1s4(s^2+4) = 14cos(2t)
Portanto
h(t) = 14 - 14cos(2t)

Passo 7

Finalmente, pelo deslocamento,
y(t) = u(t-1)l[h(t-1)r] = u(t-1)l(tfrac14 - tfrac14cosl(2(t-1)r)r)
Em particular, para t<1 temos y(t)=0, e para t>=1 vale o valor acima.

Resposta

y(t)=0 para 0≤t<1 e y(t)=\tfrac14\bigl[1-\cos\bigl(2(t-1)\bigr)\bigr] para t≥1.

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