Resolva a equação diferencial com transformada de Laplace:
onde as condições iniciais são
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com
,
e força
para
e
para
. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Como
, temos
Logo,
Passo 3
Agora calculamos
. Como
só a partir de
,
Então a equação em
vira
Passo 4
Para inverter, reconhecemos a forma
. Pela propriedade de deslocamento,
onde
e
é o degrau em
.
Passo 5
Para achar
, fazemos frações parciais em
Igualando numeradores:
Logo
,
e
levam a
,
. Assim
Passo 6
Agora invertendo cada parte:
Portanto
Passo 7
Finalmente, pelo deslocamento,
Em particular, para
temos
, e para
vale o valor acima.
Resposta
y(t)=0 para 0≤t<1 e y(t)=\tfrac14\bigl[1-\cos\bigl(2(t-1)\bigr)\bigr] para t≥1.