Utilize a transformada de Laplace para resolver:
onde
e
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’(t) - 4y(t) = f(t) $ usando a transformada de Laplace. A gente tem as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, e a função $ f(t) $ é zero de 0 a 1 e igual a $ t $ a partir de 1. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $. Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, simplificamos para $ s^2 Y(s) $.
Então, a equação transformada fica:
Passo 3
Isolamos $ Y(s) $ na equação:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ \mathcal{L}{f(t)} $. A função $ f(t) $ é zero para $ t \in [0,1] $ e igual a $ t $ para $ t \geq 1 $. Podemos expressar $ f(t) $ usando a função degrau de Heaviside $ u(t) $:
A transformada de Laplace de $ t \cdot u(t - 1) $ é $ e^{-s} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s} \right) $.
Passo 5
Substituindo $ \mathcal{L}{f(t)} $ na expressão de $ Y(s) $:
Simplificando, temos:
Fazemos a decomposição parcial para facilitar a inversão.
Passo 6
Realizamos a inversão da transformada de Laplace para encontrar $ y(t) $. Utilizando as tabelas de transformadas e propriedades de deslocamento, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é