Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: g(x)=sec (arcsen x).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a função para g(x)=sec(arcsen x), ou seja, eliminar as funções trigonométricas compostas usando relações entre ângulos e identidades trigonométricas. Vamos precisar usar a definição de , que fornece um ângulo x>0 tal que arcsen, e a identidade pitagórica para encontrar theta.

Passo 2

Seja . Por definição de , temos: theta = arcsen x e, como arcsen, o ângulo sintheta = x está no primeiro quadrante. Assim, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto vale x>0 e a hipotenusa vale theta.

Passo 3

Para encontrar costheta, usamos a identidade pitagórica:
cos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 4

Substituindo sintheta = x:
cos^2theta + x^2 = 1

Passo 5

Isso implica
cos^2theta = 1 - x^2

Passo 6

Como theta está no primeiro quadrante, costheta é positivo, logo:
costheta = raiz1 - x^2

Passo 7

Agora, lembrando que sectheta = 1 / costheta, substituímos e o valor de theta = arcsen x:

Resposta

g(x)=1raiz1-x^2

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