Resolva a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar,
y^prime prime-3 y^prime-10 y=(10 t-23) e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''-3y'-10y=(10t-23)e^3t
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea associada
y''-3y'-10y=0
montamos a equação característica
r^2-3r-10=0
Resolvendo-a, obtemos as raízes
r=5 e r=-2. Portanto a solução homogênea é
yh(t)=C1e^5t+C2e^-2t

Passo 3

Como o lado direito é da forma polinômio de grau 1 vezes e^3t e 3 não é raiz da característica, assumimos uma solução particular do tipo
yp(t)=(At+B)e^3t

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp'(t)=(3A t +A+3B)e^3t,
yp''(t)=(9A t +6A+9B)e^3t

Passo 5

Substituímos yp, yp', yp'' na equação original e fatoramos e^3t:
(9A t +6A+9B)-3(3A t +A+3B)-10(At+B)=10t-23
Isso leva a
-10A,t+(3A-10B)=10t-23
Igualando coeficientes obtemos
-10A=10implies A=-1,
3A-10B=-23implies -3-10B=-23implies B=2

Passo 6

Portanto a solução particular é
yp(t)=(-t+2)e^3t
Somando com yh, a solução geral da equação é
y(t)=C1e^5t+C2e^-2t+(-t+2)e^3t

Resposta

y(t)=C_{1}e{5t}+C_{2}e{-2t}+(-t+2)e^{3t}

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