Verificar a convergência das séries
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
. O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos precisar do critério de Leibniz (séries alternadas) e do teste de convergência absoluta.
Passo 2
Identificamos que os termos gerais são alternados por causa de
. Definimos
, de modo que o n-ésimo termo da série é
.
Passo 3
Para aplicar o critério de Leibniz precisamos checar que
é monótona decrescente a partir de certo índice. Considere a função
. Calculando a derivada temos
, que é menor ou igual a zero para todo
. Portanto
é decrescente para
.
Passo 4
Também precisamos verificar que
. De fato,
quando
, logo
.
Passo 5
Pelos pontos anteriores, pelo critério de Leibniz a série alternada
converge. Agora, para ver se converge absolutamente, analisamos
. Como
para
grande, esse somatório diverge por comparação com a série harmônica.
Passo 6
Concluímos que a série original converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto é convergente condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz e não converge absolutamente).