Verificar a convergência das séries
sum (-1)^n nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty (-1)^nnn^2+1. O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos precisar do critério de Leibniz (séries alternadas) e do teste de convergência absoluta.

Passo 2

Identificamos que os termos gerais são alternados por causa de (-1)^n. Definimos an=nn^2+1, de modo que o n-ésimo termo da série é (-1)^n an.

Passo 3

Para aplicar o critério de Leibniz precisamos checar que an é monótona decrescente a partir de certo índice. Considere a função f(x)=xx^2+1. Calculando a derivada temos f'(x)=1-x^2(x^2+1)^2, que é menor ou igual a zero para todo x>=1. Portanto an=f(n) é decrescente para n>=1.

Passo 4

Também precisamos verificar que limntoinftyan=0. De fato, an=nn^2+1sim1n quando ntoinfty, logo limntoinftyan=0.

Passo 5

Pelos pontos anteriores, pelo critério de Leibniz a série alternada sum(-1)^nan converge. Agora, para ver se converge absolutamente, analisamos sum|(-1)^nan|=sum an=sumnn^2+1. Como nn^2+1>n2n^2=12n para n grande, esse somatório diverge por comparação com a série harmônica.

Passo 6

Concluímos que a série original converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto é convergente condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz e não converge absolutamente).

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