Com relação ao problema de valor inicial y^prime+y=t, y(0)=4; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente:
a mu(t)=e^t ; y(t)=t-1+5 e^-t
(d) mu(t)=e^-t ; y(t)=t-1+5 e^t
(b) mu(t)=e^-t ; y(t)=t+5-e^t
c) nenhuma das demais alternativas
e mu(t)=e^t ; y(t)=t+5-e^-t

Passo 1

O problema dado é uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial, do tipo y'+P(t)y=Q(t), onde aqui temos P(t)=1, Q(t)=t e a condição y(0)=4. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para encontrar o fator integrante, calculamos "

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
(e^t y)' = e^t y' + e^t y = e^t,t
Agora integramos ambos os lados:
integral (e^t y)',dt = integral t e^t,dt
Fazendo integração por partes em integral t e^t,dt: escolhemos u=t, dv=e^t dt, logo
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C
Assim
e^t y = t e^t - e^t + C Longrightarrow y = t - 1 + Ce^-t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=4:
4 = 0 - 1 + C implies C=5
Logo a solução é y(t)=t-1+5e^-t.

Passo 5

Concluímos que o fator integrante e a solução são respectivamente mu(t)=e^t e y(t)=t-1+5e^-t, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

mu(t)=e^t ; y(t)=t-1+5e^-t

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