Resolva a equação diferencial usando Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução
. Informações fornecidas:
A tarefa é determinar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.
Passo 2
Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicação didática):
A Transformada de Laplace de uma função é
A Transformada de Laplace de uma função
onde
é a variável complexa da transformada. As propriedades que usaremos são:
- Linearidade:
. - Transformadas de derivadas (muito úteis para EDO com condições iniciais):
Aqui
, e
são as condições iniciais dadas. Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada ao integral da transformada.
Passo 3
Aplicando
à equação diferencial inteira:
Substituindo as fórmulas das transformadas de derivadas e
:
Agora substituímos as condições iniciais
e
:
Passo 4
Organizando os termos com
e os termos constantes:
Começamos expandindo:
Começamos expandindo:
Agrupando os coeficientes de
e os termos independentes:
Calculando o termo constante
:
Portanto obtemos
Isolando
:
Passo 5
Preparar
para inverter a transformada: completar o quadrado no denominador e reescrever o numerador em termos de
.
Primeiro, complete o quadrado em :
Primeiro, complete o quadrado em
pois
e
.
Agora escrevemos o numerador como combinação de
e constante:
Agora escrevemos o numerador
Logo
Passo 6
Relembrando as transformadas inversas padrão (fórmulas e interpretação):
-
. -
.
Aquié a taxa exponencial e é a frequência angular do cosseno/seno. Para inverter uma expressão com centro em , identificamos e .
No nosso caso temos
e
porque o denominador é
.
Para a primeira parcela
: corresponde a
vezes
, cuja inversa é
.
Para a segunda parcela
: notamos que
corresponde ao seno multiplicado por
. Aqui
, então
e a inversa é
.
Passo 7
Aplicando as inversas às duas parcelas e somando, obtemos
:
Podemos factorar
para ficar mais compacto:
Como verificação rápida (útil na prova): em
isso dá
, que confere com a condição inicial. Para
o cálculo (feito com a fórmula da derivada do produto e das funções trigonométricas) também dá
, conferindo a outra condição inicial.