Resolva a equação diferencial usando Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=5 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução y(t). Informações fornecidas:
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+13y=0,
y(0)=2,
y^{\prime}(0)=5.
A tarefa é determinar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a Transformada de Laplace.

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicação didática):
A Transformada de Laplace de uma função y(t) é
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada. As propriedades que usaremos são:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformadas de derivadas (muito úteis para EDO com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, e y(0),y'(0) são as condições iniciais dadas. Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada ao integral da transformada.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} à equação diferencial inteira:
\mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+13\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das transformadas de derivadas e Y(s):
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+13Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais \;y(0)=2 e \;y'(0)=5:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s-5\bigr)-4\bigl(sY(s)-2\bigr)+13Y(s)=0.

Passo 4

Organizando os termos com Y(s) e os termos constantes:
Começamos expandindo:
s^{2}Y(s)-2s-5 -4sY(s)+8 +13Y(s)=0.
Agrupando os coeficientes de Y(s) e os termos independentes:
\bigl(s^{2}-4s+13\bigr)Y(s) + (-2s-5+8)=0.
Calculando o termo constante -2s-5+8:
-2s+3.
Portanto obtemos
\bigl(s^{2}-4s+13\bigr)Y(s)-2s+3=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{2s-3}{s^{2}-4s+13}.

Passo 5

Preparar Y(s) para inverter a transformada: completar o quadrado no denominador e reescrever o numerador em termos de (s-2).
Primeiro, complete o quadrado em s^{2}-4s+13:
s^{2}-4s+13 = (s-2)^{2}+9,
pois (s-2)^{2}=s^{2}-4s+4 e 4+9=13.
Agora escrevemos o numerador 2s-3 como combinação de (s-2) e constante:
2s-3 = 2(s-2) + 4 -3 = 2(s-2) + 1.
Logo
Y(s)=\frac{2(s-2)+1}{(s-2)^{2}+3^{2}}=\frac{2(s-2)}{(s-2)^{2}+3^{2}}+\frac{1}{(s-2)^{2}+3^{2}}.

Passo 6

Relembrando as transformadas inversas padrão (fórmulas e interpretação):
  • \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  • \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
    Aqui a é a taxa exponencial e b é a frequência angular do cosseno/seno. Para inverter uma expressão com centro em s-a, identificamos a e b.
No nosso caso temos a=2 e b=3 porque o denominador é (s-2)^{2}+3^{2}.
Para a primeira parcela \dfrac{2(s-2)}{(s-2)^{2}+3^{2}}: corresponde a 2 vezes \dfrac{s-2}{(s-2)^{2}+3^{2}}, cuja inversa é 2e^{2t}\cos(3t).
Para a segunda parcela \dfrac{1}{(s-2)^{2}+3^{2}}: notamos que \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} corresponde ao seno multiplicado por e^{at}. Aqui b=3, então
\frac{1}{(s-2)^{2}+3^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{(s-2)^{2}+3^{2}}
e a inversa é \dfrac{1}{3}e^{2t}\sin(3t).

Passo 7

Aplicando as inversas às duas parcelas e somando, obtemos y(t):
y(t)=2e^{2t}\cos(3t)+\frac{1}{3}e^{2t}\sin(3t).
Podemos factorar e^{2t} para ficar mais compacto:
y(t)=e^{2t}\left(2\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t)\right).
Como verificação rápida (útil na prova): em t=0 isso dá y(0)=e^{0}\bigl(2\cdot1 + \tfrac{1}{3}\cdot0\bigr)=2, que confere com a condição inicial. Para y'(0) o cálculo (feito com a fórmula da derivada do produto e das funções trigonométricas) também dá 5, conferindo a outra condição inicial.

Resposta

y(t)=e^{2t}\left(2\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t)\right)

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