Em cada um dos Problemas de 9 a 14, encontre a solução geral do sistema de equações dado. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ -8 & -5 & -3\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de equações
O objetivo é encontrar \mathbf{x}(t) em termos de constantes arbitrárias (a solução geral). Nada mais foi fornecido nem pedido (por exemplo, condições iniciais), então devolveremos a solução geral com constantes.]
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicando didaticamente): para sistemas lineares autônomos \mathbf{x}'=A\mathbf{x} a técnica padrão é procurar autovalores (\lambda) e autovetores (\mathbf{v}) de A. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera uma solução da forma \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Se A tem uma base de autovetores (ou seja, é diagonalizável), a solução geral é combinação linear desses modos exponenciais. Vou calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), achar as raízes (autovalores) e depois os autovetores correspondentes, e por fim montar a solução geral.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos
Fatoramos o polinômio \lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4. Observando que \lambda=-1 é raiz? Vamos testar: substituindo \lambda=-1 obtém-se -1+1+4-4=0, logo \lambda+1 é fator. Fazendo divisão ou fatorando por agrupamento:
Da primeira equação temos y+z=x. Substituindo na segunda obtemos 2x-(y+z)=0, ou seja 2x-x=0 que dá x=0. Com x=0 obtemos y+z=0, então y=-z. Tomando z=1 (livre) obtemos um autovetor
Novamente a terceira equação confirma esses valores.]
Passo 8
Agora montamos a solução geral. Cada autovetor \mathbf{v}_i com autovalor \lambda_i gera a solução \mathbf{x}_i(t)=e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Como os três autovetores são linearmente independentes (autovalores distintos garantem isso), a solução geral é combinação linear: