Em cada um dos Problemas de 9 a 14, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ -8 & -5 & -3\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações
\mathbf{x}' = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -3\end{pmatrix}\mathbf{x}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -3\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar \mathbf{x}(t) em termos de constantes arbitrárias (a solução geral). Nada mais foi fornecido nem pedido (por exemplo, condições iniciais), então devolveremos a solução geral com constantes.]

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicando didaticamente): para sistemas lineares autônomos \mathbf{x}'=A\mathbf{x} a técnica padrão é procurar autovalores ( \lambda) e autovetores ( \mathbf{v}) de A. Cada par (\lambda,\mathbf{v}) gera uma solução da forma \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. Se A tem uma base de autovetores (ou seja, é diagonalizável), a solução geral é combinação linear desses modos exponenciais. Vou calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), achar as raízes (autovalores) e depois os autovetores correspondentes, e por fim montar a solução geral.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos
A-\lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1-\lambda & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante por expansão na primeira linha é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] -5 & -3-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -8 & -3-\lambda\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1-\lambda \\[4pt] -8 & -5\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] -5 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-3-\lambda)-(-1)(-5).
Explicando: multiplicamos em cruz e subtraímos, e lembramos que (-1)(-5)=5. Fazendo as contas:
(1-\lambda)(-3-\lambda)-5 = \lambda^2+2\lambda-8.
O segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -8 & -3-\lambda\end{pmatrix} =2(-3-\lambda)-(-1)(-8)=-6-2\lambda-8=-14-2\lambda.
O terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 1-\lambda \\[4pt] -8 & -5\end{pmatrix} =2(-5)-(1-\lambda)(-8)=-10+8-8\lambda=-2-8\lambda.
Substituindo na expressão do determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-8)-( -14-2\lambda)+(-2-8\lambda).
Note que o sinal do segundo termo já veio com menos na expansão, por isso aparece negativo do menor; ao simplificar obtemos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-8)+14+2\lambda-2-8\lambda.
Agrupando os termos livres:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-8)+12-6\lambda.
Expandindo (1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-8):
(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-8)=\lambda^2+2\lambda-8-\lambda^3-2\lambda^2+8\lambda=-\lambda^3-\lambda^2+10\lambda-8.
Somando com 12-6\lambda
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda^2+4\lambda+4.
Multiplicando por -1 (para escrever polinômio com sinal positivo no termo cúbico):
\det(A-\lambda I)= -\big(\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4\big).
Portanto o polinômio característico essencial é
\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4=0.]

Passo 4

Fatoramos o polinômio \lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4. Observando que \lambda=-1 é raiz? Vamos testar: substituindo \lambda=-1 obtém-se -1+1+4-4=0, logo \lambda+1 é fator. Fazendo divisão ou fatorando por agrupamento:
\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4=(\lambda+1)(\lambda^2-4).
E \lambda^2-4 fatoriza como (\lambda-2)(\lambda+2). Assim os autovalores são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-2,\qquad \lambda_3=-1,
todos simples (raízes distintas). Isso já nos diz que A é diagonalizável e que teremos três autovetores linearmente independentes.

Passo 5

Agora encontramos um autovetor para \lambda_1=2. Resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Escrevemos a matriz:
A-2I=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & -1 & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -5\end{pmatrix}.
As equações correspondentes são
- x + y + z = 0,
2x - y - z = 0,
-8x -5y -5z = 0.
Da primeira equação temos y+z=x. Substituindo na segunda obtemos 2x-(y+z)=0, ou seja 2x-x=0 que dá x=0. Com x=0 obtemos y+z=0, então y=-z. Tomando z=1 (livre) obtemos um autovetor
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Podemos verificar que a terceira equação é satisfeita automaticamente.]

Passo 6

Autovetor para \lambda_2=-2. Resolvemos (A+2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A+2I=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -1\end{pmatrix}.
As equações são
3x + y + z = 0,
2x + 3y - z = 0,
-8x -5y - z = 0.
Da primeira temos z=-3x-y. Substituindo na segunda:
2x+3y-(-3x-y)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+3y+3x+y=0 \quad\Rightarrow\quad 5x+4y=0.
Assim y=-\tfrac{5}{4}x. Usando z=-3x-y obtemos z=-3x+\tfrac{5}{4}x=-\tfrac{7}{4}x. Tomando x=4 para limpar frações, um autovetor conveniente é
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]-7\end{pmatrix}.
Verifique que a terceira equação é satisfeita com esses valores.]

Passo 7

Autovetor para \lambda_3=-1. Resolvemos (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A+I=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 2 & -1 \\[4pt] -8 & -5 & -2\end{pmatrix}.
As equações:
2x + y + z = 0,
2x + 2y - z = 0,
-8x -5y -2z = 0.
Da primeira z=-2x-y. Substituindo na segunda:
2x+2y-(-2x-y)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+2y+2x+y=0 \quad\Rightarrow\quad 4x+3y=0.
Daí y=-\tfrac{4}{3}x. E então z=-2x -(-\tfrac{4}{3}x)=-\tfrac{2}{3}x. Tomando x=3 para evitar frações, obtemos o autovetor
\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Novamente a terceira equação confirma esses valores.]

Passo 8

Agora montamos a solução geral. Cada autovetor \mathbf{v}_i com autovalor \lambda_i gera a solução \mathbf{x}_i(t)=e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Como os três autovetores são linearmente independentes (autovalores distintos garantem isso), a solução geral é combinação linear:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{-2t}\mathbf{v}_2 + C_3 e^{-t}\mathbf{v}_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias reais (determindas por condições iniciais, se houvessem).
Substituindo os vetores encontrados:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]-7\end{pmatrix} + C_3 e^{-t}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]-7\end{pmatrix} + C_3 e^{-t}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-4\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

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