Utilizando propriedades como derivação, translação e convolução, determine:
\mathcal{L}\left\{t^{2} \cos (2 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \;t^{2}\cos(2t)\;.
Informações dadas: a função temporal é \;t^{2}\cos(2t)\;. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que conecta multiplicação por potências de t no domínio do tempo com derivação no domínio de s. A propriedade é:
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e n é um inteiro não-negativo.
Explicando com calma: se você conhece \mathcal{L}\{f(t)\} como função de s, então multiplicar f(t) por t, t^{2}, etc., corresponde a derivar F(s) em relação a s e multiplicar por (-1)^{n}. Isso é super prático na prova porque evita integrais complicadas.

Passo 3

Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de \cos(2t). A fórmula conhecida é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
para \Re(s)>0. No nosso caso a=2, logo
F(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+4}.
Vou detalhar as etapas seguintes usando F(s).

Passo 4

Pela propriedade do Passo 2 com n=2 (pois temos t^{2}), temos
\mathcal{L}\{t^{2}\cos(2t)\}=(-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{s}{s^{2}+4}\right).
Então precisamos calcular a segunda derivada de \;F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4}\;.

Passo 5

Calculamos a primeira derivada F'(s) usando a regra do quociente. Para
F(s)=\frac{s}{s^{2}+4},
temos
F'(s)=\frac{(1)(s^{2}+4)-s(2s)}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{s^{2}+4-2s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}.
Explicando a regra do quociente: se G(s)=\dfrac{u(s)}{v(s)} então G'(s)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aqui u(s)=s e v(s)=s^{2}+4.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada F''(s). Partimos de
F'(s)=\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}.
Aplicamos novamente a regra do quociente com u(s)=4-s^{2} (logo u'(s)=-2s) e v(s)=(s^{2}+4)^{2} (logo v'(s)=4s(s^{2}+4), porque \dfrac{d}{ds}(s^{2}+4)^{2}=2(s^{2}+4)\cdot 2s). Assim
F''(s)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{-2s\,(s^{2}+4)^{2}-(4-s^{2})\cdot 4s\,(s^{2}+4)}{(s^{2}+4)^{4}}.
Fatorando -2s(s^{2}+4) no numerador:
\begin{aligned} \text{numerador} &= -2s(s^{2}+4)\big[(s^{2}+4)+2(4-s^{2})\big] \\\ &= -2s(s^{2}+4)\big(s^{2}+4+8-2s^{2}\big) \\\ &= -2s(s^{2}+4)\big(-s^{2}+12\big). \end{aligned}
Logo
F''(s)=\frac{-2s(s^{2}+4)(-s^{2}+12)}{(s^{2}+4)^{4}} =\frac{-2s(-s^{2}+12)}{(s^{2}+4)^{3}}.
Simplificando o sinal:
F''(s)=\frac{2s(s^{2}-12)}{(s^{2}+4)^{3}}.

Passo 7

Portanto, aplicando a propriedade do Passo 2 (com (-1)^{2}=1), obtemos a transformada solicitada. A região de convergência permanece \Re(s)>0 (a transformada de \cos(2t) converge para \Re(s)>0, e multiplicar por t^{2} não amplia a região para valores negativos de \Re(s)).

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\cos(2t)\}=\frac{2s(s^{2}-12)}{(s^{2}+4)^{3}}

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