Utilizando propriedades como derivação, translação e convolução, determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função temporal é . Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função temporal é
Passo 2
Vamos usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que conecta multiplicação por potências de
no domínio do tempo com derivação no domínio de
. A propriedade é:
onde
e
é um inteiro não-negativo.
Explicando com calma: se você conhece como função de
, então multiplicar
por
,
, etc., corresponde a derivar
em relação a
e multiplicar por
. Isso é super prático na prova porque evita integrais complicadas.
Explicando com calma: se você conhece
Passo 3
Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de
. A fórmula conhecida é
para
. No nosso caso
, logo
Vou detalhar as etapas seguintes usando
.
Passo 4
Pela propriedade do Passo 2 com
(pois temos
), temos
Então precisamos calcular a segunda derivada de
.
Passo 5
Calculamos a primeira derivada
usando a regra do quociente. Para
temos
Explicando a regra do quociente: se
então
. Aqui
e
.
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada
. Partimos de
Aplicamos novamente a regra do quociente com
(logo
) e
(logo
, porque
). Assim
Fatorando
no numerador:
Logo
Simplificando o sinal:
Passo 7
Portanto, aplicando a propriedade do Passo 2 (com
), obtemos a transformada solicitada. A região de convergência permanece
(a transformada de
converge para
, e multiplicar por
não amplia a região para valores negativos de
).