Seja Zn^*=barx in Zn ; mdc(x, n)=1 o grupo multiplicativo dos inteiros módulo n (veja Exemplo 160 da aula 12).
Prove que Z8^*, Z20^* não são grupos cíclicos.

Passo 1

A questão pede para mostrar que os grupos multiplicativos Z8^* e Z20^* não são cíclicos. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos: precisamos usar a definição de grupo cíclico (existência de um elemento de ordem igual à ordem do grupo) e o fato de que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo (Teorema de Lagrange).

Passo 2

Lembrando que um grupo G é cíclico se existir gin G tal que lang<= grang<==G, isto é, ord(g)=|G|. Pelo Teorema de Lagrange, para qualquer elemento xin G temos ord(x)mid|G|.

Passo 3

No caso de Z8^*, sabemos que phi(8)=4 e os elementos são
bar1,bar3,bar5,bar7,
Vamos calcular a ordem de cada um (usando que x^2equiv1pmod8 para x=3,5,7):
ord(bar1)=1
Assim, ord(bar3)=ord(bar5)=ord(bar7)=2 e Z8^*. Não há elemento de ordem 4, logo não pode ser cíclico.

Passo 4

Para Z20^*, temos phi(20)=8 e os elementos
Observe os pares bar1,bar3,bar7,bar9,bar11,bar13,bar17,bar19 , pm1, pm3, pm7 módulo 20. Calculamos as quadraturas:
pm9
Logo para qualquer ainZ20^* temos a^2equivbar1 ou bar9, e portanto
a^4=(a^2)^2equivbar1pmod20
Isso mostra que todo elemento tem ordem que divide 4, logo não existe elemento de ordem 8. Portanto Z20^* também não é cíclico.

Resposta

Nenhum dos dois grupos tem elemento cuja ordem seja igual à ordem do grupo (4 em Z8^* e 8 em Z20^*), logo ambos não são cíclicos.

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