Seja o grupo multiplicativo dos inteiros módulo (veja Exemplo 160 da aula 12).
Prove que não são grupos cíclicos.
Passo 1
A questão pede para mostrar que os grupos multiplicativos e não são cíclicos. O conteúdo envolvido é teoria de grupos finitos: precisamos usar a definição de grupo cíclico (existência de um elemento de ordem igual à ordem do grupo) e o fato de que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo (Teorema de Lagrange).
Passo 2
Lembrando que um grupo é cíclico se existir tal que , isto é, . Pelo Teorema de Lagrange, para qualquer elemento temos .
Passo 3
No caso de , sabemos que e os elementos são
Vamos calcular a ordem de cada um (usando que para ):
Assim, ord(bar3)=ord(bar5)=ord(bar7)=2 e Z8^*. Não há elemento de ordem 4, logo não pode ser cíclico.
Passo 4
Para Z20^*, temos phi(20)=8 e os elementos
Observe os pares bar1,bar3,bar7,bar9,bar11,bar13,bar17,bar19 , pm1, pm3, pm7 módulo 20. Calculamos as quadraturas: pm9
Logo para qualquer ainZ20^* temos a^2equivbar1 ou bar9, e portanto
a^4=(a^2)^2equivbar1pmod20
Isso mostra que todo elemento tem ordem que divide 4, logo não existe elemento de ordem 8. Portanto Z20^* também não é cíclico.
Resposta
Nenhum dos dois grupos tem elemento cuja ordem seja igual à ordem do grupo (4 em Z8^* e 8 em Z20^*), logo ambos não são cíclicos.