Resolva a equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' - 3 y' + 2 y = e^x
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso usando o método de variação de parâmetros, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Depois, vamos usar essa solução para encontrar uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^r x. Derivando, temos:
y' = r e^r x y'' = r^2 e^r x
Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^r x - 3 r e^r x + 2 e^r x = 0
Podemos fatorar e^r x (que nunca é zero):
e^r x (r^2 - 3 r + 2) = 0
Então, a equação característica é:
r^2 - 3 r + 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 - 3 r + 2 = 0. Podemos fatorar:
(r - 1)(r - 2) = 0
Portanto, as raízes são r = 1 e r = 2. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
yh = C1 e^x + C2 e^2x
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos com condições iniciais, se tiver.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - 3 y' + 2 y = e^x
Como o lado direito é e^x, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para obter uma forma adequada para a solução particular. Assim, assumimos:
yp = x (A e^x)
onde A é uma constante que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp:
yp = A x e^x yp' = A e^x + A x e^x yp'' = A e^x + A e^x + A x e^x = 2 A e^x + A x e^x

Passo 6

Substituindo yp, yp', e yp'' na equação completa:
(2 A e^x + A x e^x) - 3 (A e^x + A x e^x) + 2 (A x e^x) = e^x
Vamos simplificar:
2 A e^x + A x e^x - 3 A e^x - 3 A x e^x + 2 A x e^x = e^x (2A - 3A) e^x + (A - 3A + 2A) x e^x = e^x (-A) e^x + 0 cdot x e^x = e^x

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
Para e^x:
- A = 1 A = -1
Portanto, a solução particular é:
yp = -x e^x

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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