Resolva a equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso usando o método de variação de parâmetros, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada:
Depois, vamos usar essa solução para encontrar uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Portanto, as raízes são
e
. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
Onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais, se tiver.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para obter uma forma adequada para a solução particular. Assim, assumimos:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 6
Substituindo
,
, e
na equação completa:
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.