Resolva a equação diferencial utilizando série de potências centrada em
:
Encontre a solução geral e aplique o valor inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências centradas em
. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para EDOs, que consiste em assumir
calcular
, impor
e obter uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências
Em seguida, derivamos termo a termo para encontrar
Passo 3
Para comparar termos em potências iguais de
, reindexamos
. Colocando
, obtemos
Renomeando
de volta para
, fica
Passo 4
A condição
implica
Igualando coeficientes de
, obtemos a relação de recorrência
ou seja
Passo 5
Da recorrência
segue-se por iteração que
Passo 6
Substituindo esses coeficientes na série de potências, temos
Portanto, a solução geral é
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para aplicar a condição inicial
, basta calcular
Logo
e a solução particular é
Resposta
A solução geral é
.
Com , a solução é
Com