Resolva a equação diferencial utilizando série de potências centrada em x=0 :
y^{\prime}=y .
Encontre a solução geral e aplique o valor inicial y(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = y
usando séries de potências centradas em x=0. O conteúdo aqui é o método de séries de potências para EDOs, que consiste em assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
calcular y', impor y'=y e obter uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Em seguida, derivamos termo a termo para encontrar
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}.

Passo 3

Para comparar termos em potências iguais de x, reindexamos y'. Colocando n-1=k, obtemos
y'(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\,a_{k+1}x^k.
Renomeando k de volta para n, fica
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}x^n.

Passo 4

A condição y'=y implica
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}x^n \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Igualando coeficientes de x^n, obtemos a relação de recorrência
(n+1)\,a_{n+1}=a_n,
ou seja
a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1},\quad n\ge0.

Passo 5

Da recorrência
a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1},
segue-se por iteração que
a_n=\frac{a_0}{n!}\quad\text{para todo }n\ge0.

Passo 6

Substituindo esses coeficientes na série de potências, temos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_0}{n!}\,x^n =\;a_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =\;a_0\,e^x.
Portanto, a solução geral é
y(x)=C\,e^x,
onde C=a_0 é a constante de integração.

Passo 7

Para aplicar a condição inicial y(0)=3, basta calcular
y(0)=C\,e^0=C=3.
Logo C=3 e a solução particular é
y(x)=3\,e^x.

Resposta

A solução geral é y(x)=C\,e^x.
Com y(0)=3, a solução é
y(x)=3\,e^x.

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