Resolver um sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{r}\dot{x}-5 x-3 y=0 \\\ \dot{y}+3 x+y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\begin{cases} \dot{x}-5x-3y=0,\\\ \dot{y}+3x+y=0. \end{cases}
Aqui o conteúdo é sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes. Vamos reescrever em forma matricial e usar o método de autovalores e autovetores (incluindo vetor generalizado, pois há degenerescência de autovalor).

Passo 2

Reescrevendo em forma de vetor X=(x,y)^{T}, temos
\dot{X}=A\,X,
onde
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\\\ -3 & -1\end{pmatrix}.
O problema reduz-se a achar a exponencial de matriz de A via autovalores e autovetores.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\\ -3 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(-1-\lambda)+9 =\lambda^{2}-4\lambda+4 =(\lambda-2)^{2}.
Logo, o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Encontramos o(s) autovetor(es) resolvendo
(A-2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 & 3\\\ -3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa matriz tirada a 1ª equação, 3v_{1}+3v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=-v_{1}. Um autovetor é, por exemplo,
v=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Como só aparece esse vetor, temos degenerescência e precisamos de um vetor generalizado.

Passo 5

Procuramos w tal que
(A-2I)w=v.
Isto é
\begin{pmatrix}3 & 3\\\ -3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_{1}\w_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Da 1ª linha, 3w_{1}+3w_{2}=1\Rightarrow w_{1}+w_{2}=\tfrac13. Escolhemos, por simplicidade,
w=\begin{pmatrix}\tfrac13\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Para sistema com autovalor único e vetor generalizado, a solução geral é
X(t) =e^{2t}\Bigl[ C_{1}\,v + C_{2}\bigl(t\,v + w\bigr) \Bigr],
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

Escrevendo em coordenadas, a solução geral é
x(t) =e^{2t}\bigl[C_{1}+C_{2}\bigl(t+\tfrac13\bigr)\bigr], \qquad y(t) =e^{2t}\bigl[-C_{1}-C_{2}\,t\bigr],
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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