Resolva por série a equação:
y^{\prime \prime}-x y=0
Encontre os três primeiros coeficientes da solução em série assumindo y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por série em torno de x=0 a equação
y'' - x\,y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos usar o método da série de potências, isto é, supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n
e determinar os coeficientes a_n via substituição na ODE e uso das condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
Substituindo em y''-x\,y=0
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n \;-\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+1}=0.
Reindexando o segundo somatório com m=n-1 (de modo a ter potências x^n) resulta em
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_{n-1}\Bigr]x^n=0,
onde tomamos a_{-1}=0.

Passo 3

Da anulação dos coeficientes de x^n vem a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_{n-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.
Para n=0:
2\cdot1\,a_2 - a_{-1}=0 \;\Rightarrow\; a_2=0.
Para n=1:
3\cdot2\,a_3 - a_0=0 \;\Rightarrow\; a_3=\frac{a_0}{6}.

Passo 4

Usando as condições iniciais:
y(0)=a_0=1, \quad y'(0)=a_1=0.
Logo a_0=1 e a_1=0. Já obtivemos a_2=0. Se quisermos, para ver os próximos coeficientes: a_3=\tfrac{1}{6}, a_4=\tfrac{a_1}{12}=0, etc.

Resposta

Os três primeiros coeficientes da série são
a_0=1,\quad a_1=0,\quad a_2=0.

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