Resolva por série a equação:
Encontre os três primeiros coeficientes da solução em série assumindo
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por série em torno de
a equação
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método da série de potências, isto é, supor
e determinar os coeficientes
via substituição na ODE e uso das condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série:
Substituindo em
dá
Reindexando o segundo somatório com
(de modo a ter potências
) resulta em
onde tomamos
.
Passo 3
Da anulação dos coeficientes de
vem a recorrência
Para
:
Para
:
Passo 4
Usando as condições iniciais:
Logo
e
. Já obtivemos
. Se quisermos, para ver os próximos coeficientes:
,
, etc.
Resposta
Os três primeiros coeficientes da série são