Resolva a equação diferencial.
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-y=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-y=0.
  • Pede encontrar a solução y(t) (a família de soluções gerais) em função da variável independente t.
  • Não foram fornecidas condições iniciais, então devemos dar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia do método (por que tentar uma exponencial):
  • Para equações lineares de ordem constante costuma-se tentar uma solução do tipo
y(t)=e^{r t},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar.
  • Motivo intuitivo: derivadas de e^{r t} trazem fatores r, então a equação transforma-se numa equação algébrica para r. Se e^{r t} resolver a equação para algum r, então combinações lineares dessas exponenciais também resolverão (porque a equação é linear e homogênea).
  • Aqui r representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial.

Passo 3

Substituição da hipótese y(t)=e^{r t} na equação:
  • Calcule as derivadas:
\frac{d y}{d t}=r e^{r t},\qquad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=r^{2} e^{r t}.
  • Substituindo na equação dada:
r^{2} e^{r t}+2 r e^{r t}-e^{r t}=0.
  • Como e^{r t} nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por e^{r t} e obter a equação característica:
r^{2}+2r-1=0.

Passo 4

Resolver a equação característica (quadrática):
  • Use a fórmula quadrática para \;r^{2}+2r-1=0\;.
  • O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8.
  • As raízes são
r=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
  • Portanto há duas raízes reais distintas:
r_{1}=-1+\sqrt{2},\qquad r_{2}=-1-\sqrt{2}.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes:
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, duas soluções independentes são e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t}.
  • Por linearidade, a solução geral é a combinação linear destas soluções:
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se houvesse condições iniciais).
  • Aqui, substituindo os valores de r_{1} e r_{2},
y(t)=C_{1}e^{(-1+\sqrt{2})t}+C_{2}e^{(-1-\sqrt{2})t}.
  • (Observação rápida sobre independência: o Wronskiano de e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t} é proporcional a r_{2}-r_{1}, que é diferente de zero quando as raízes são distintas, então as soluções são linearmente independentes.)

Passo 6

Como usar essa solução na prova e como achar C_{1},C_{2} se derem condições iniciais:
  • Se forem dadas, por exemplo, as condições \;y(0)=y_{0}\; e \;y'(0)=y_{1}\;, procede-se assim:
y(0)=C_{1}+C_{2}=y_{0},
y'(t)=C_{1}r_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}t}\quad\Rightarrow\quad y'(0)=C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=y_{1}.
  • Resolve-se o sistema linear para C_{1} e C_{2}. Essa é a forma padrão em provas: escrever y e y' em t=0 e resolver duas equações lineares.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{(-1+\sqrt{2})t}+C_{2}e^{(-1-\sqrt{2})t}

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