Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a equação diferencial
- Pede encontrar a solução
(a família de soluções gerais) em função da variável independente . - Não foram fornecidas condições iniciais, então devemos dar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia do método (por que tentar uma exponencial):
- Para equações lineares de ordem constante costuma-se tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar.
- Motivo intuitivo: derivadas de
trazem fatores , então a equação transforma-se numa equação algébrica para . Se resolver a equação para algum , então combinações lineares dessas exponenciais também resolverão (porque a equação é linear e homogênea). - Aqui
representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial.
Passo 3
Substituição da hipótese
na equação:
- Calcule as derivadas:
- Substituindo na equação dada:
- Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica (quadrática):
- Use a fórmula quadrática para
. - O discriminante é
- As raízes são
- Portanto há duas raízes reais distintas:
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes:
- Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , duas soluções independentes são e . - Por linearidade, a solução geral é a combinação linear destas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se houvesse condições iniciais).
- Aqui, substituindo os valores de
e ,
- (Observação rápida sobre independência: o Wronskiano de
e é proporcional a , que é diferente de zero quando as raízes são distintas, então as soluções são linearmente independentes.)
Passo 6
Como usar essa solução na prova e como achar
se derem condições iniciais:
- Se forem dadas, por exemplo, as condições
e , procede-se assim:
- Resolve-se o sistema linear para
e . Essa é a forma padrão em provas: escrever e em e resolver duas equações lineares.