Resolva a equação diferencial.
(4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0)
(4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas:
é a equação que devemos resolver para
. Não há condições iniciais fornecidas, portanto buscamos a solução geral. Note que a equação tem coeficientes que dependem de
e é singular em
(porque aparecem termos com
no denominador ao dividir).
Passo 2
Reescrevemos a equação dividindo por
para ficar numa forma mais simples:
Aqui eu apenas dividi ambos os lados por
. Isso evidencia que os coeficientes são potências de
(apenas
multiplicando
e uma constante multiplicando
), o que sugere um método baseado em tentar uma solução do tipo potência.
Passo 3
Agora proponho uma solução da forma
onde
é um número a determinar. Explico por que: quando uma equação tem a forma
é comum tentar
porque as derivadas de
são proporcionais a potências de
e os termos combinam bem, levando a uma equação algébrica para
. No nosso caso
e
.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Usando regras básicas de derivação:
Substituindo na equação
,
Simplificando o fator
(assumindo
),
Passo 5
A equação algébrica para
é
Calculamos o discriminante
:
Como
, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
Passo 6
Quando na abordagem
a equação característica dá uma raiz dupla
, a teoria (método de Euler–Cauchy) diz que duas soluções linearmente independentes são
válidas em um intervalo onde
tem sinal fixo (por exemplo
). Vou usar isso com
. Observação importante: como a equação é singular em
, tratamos a solução em intervalos separados
e
; para incluir ambos os lados podemos usar
nas potências e
no logaritmo.
Passo 7
Para ficar mais didático, verifico rapidamente que
realmente funciona (para
). Calculemos derivadas (mostrando as contas):
Aqui simplificamos os termos constantes para obter que
é proporcional a
. Substituindo em
verifica-se que os termos com
e os termos sem
se cancelam, confirmando que
é solução independente de
. (A conta é trabalhosa mas segue as regras de derivação — a forma geral da teoria garante esse resultado para raiz dupla.)
Passo 8
Concluímos que uma base de soluções independentes é
em qualquer intervalo onde
. Para cobrir intervalos com
e manter tudo real, é comum escrever as soluções usando
e
, ficando as funções
e
. Lembre-se: não podemos atravessar
porque a equação é singular ali.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias e a solução é válida em cada intervalo onde
mantém sinal (por exemplo
ou
).