Resolva a equação diferencial.
(4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
4x^{2}y''+y=0.
Informações dadas:
4x^{2}y''+y=0
é a equação que devemos resolver para y(x). Não há condições iniciais fornecidas, portanto buscamos a solução geral. Note que a equação tem coeficientes que dependem de x e é singular em x=0 (porque aparecem termos com x^{2} no denominador ao dividir).

Passo 2

Reescrevemos a equação dividindo por 4 para ficar numa forma mais simples:
x^{2}y''+\frac{1}{4}y=0.
Aqui eu apenas dividi ambos os lados por 4. Isso evidencia que os coeficientes são potências de x (apenas x^{2} multiplicando y'' e uma constante multiplicando y), o que sugere um método baseado em tentar uma solução do tipo potência.

Passo 3

Agora proponho uma solução da forma
y=x^{r},
onde r é um número a determinar. Explico por que: quando uma equação tem a forma
x^{2}y''+\alpha x y'+\beta y=0,
é comum tentar y=x^{r} porque as derivadas de x^{r} são proporcionais a potências de x e os termos combinam bem, levando a uma equação algébrica para r. No nosso caso \alpha=0 e \beta=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y=x^{r}. Usando regras básicas de derivação:
y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação x^{2}y''+\tfrac{1}{4}y=0,
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)+\frac{1}{4}x^{r}=0.
Simplificando o fator x^{r} (assumindo x\neq0),
r(r-1)+\frac{1}{4}=0.

Passo 5

A equação algébrica para r é
r^{2}-r+\frac{1}{4}=0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot\frac{1}{4}=1-1=0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla. A raiz é
r=\frac{1}{2}.

Passo 6

Quando na abordagem y=x^{r} a equação característica dá uma raiz dupla r, a teoria (método de Euler–Cauchy) diz que duas soluções linearmente independentes são
y_{1}=x^{r}\quad\text{e}\quad y_{2}=x^{r}\ln x,
válidas em um intervalo onde x tem sinal fixo (por exemplo x>0). Vou usar isso com r=\tfrac{1}{2}. Observação importante: como a equação é singular em x=0, tratamos a solução em intervalos separados x>0 e x<0; para incluir ambos os lados podemos usar |x| nas potências e \ln|x| no logaritmo.

Passo 7

Para ficar mais didático, verifico rapidamente que y_{2}=x^{1/2}\ln x realmente funciona (para x>0). Calculemos derivadas (mostrando as contas):
y_{2}=x^{1/2}\ln x,
y_{2}'=\frac{1}{2}x^{-1/2}\ln x + x^{1/2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}\ln x + x^{-1/2},
y_{2}''=\frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\ln x + x^{-3/2}\Bigr) -\tfrac{1}{2}x^{-3/2} =\frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\ln x\Bigr).
Aqui simplificamos os termos constantes para obter que y_{2}'' é proporcional a x^{-3/2}\ln x. Substituindo em x^{2}y''+\tfrac{1}{4}y verifica-se que os termos com \ln x e os termos sem \ln x se cancelam, confirmando que y_{2} é solução independente de y_{1}. (A conta é trabalhosa mas segue as regras de derivação — a forma geral da teoria garante esse resultado para raiz dupla.)

Passo 8

Concluímos que uma base de soluções independentes é
y_{1}=x^{1/2},\qquad y_{2}=x^{1/2}\ln x
em qualquer intervalo onde x>0. Para cobrir intervalos com x<0 e manter tudo real, é comum escrever as soluções usando |x| e \ln|x|, ficando as funções |x|^{1/2} e |x|^{1/2}\ln|x|. Lembre-se: não podemos atravessar x=0 porque a equação é singular ali.

Resposta

y(x)=C_{1}|x|^{1/2}+C_{2}|x|^{1/2}\ln|x|,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias e a solução é válida em cada intervalo onde x mantém sinal (por exemplo x>0 ou x<0).

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