Resolva a equação diferencial.
x y y^{\prime}=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y\,y' = x^{2}+1.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • Aqui y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve fator x multiplicando y y', então x=0 é um ponto peculiar (a equação original não é válida em x=0). Portanto a solução será válida em intervalos onde x\neq 0 (ou seja, (-\infty,0) e (0,\infty)).
  • O objetivo é encontrar a família de funções y(x) que satisfazem a equação para x\neq 0.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação de forma mais clara substituindo y'=\dfrac{dy}{dx}. Temos
x\,y\,\frac{dy}{dx}=x^{2}+1.
Dividindo ambos os lados por x (lembrando que isto é válido apenas quando x\neq 0) obtém-se
y\,\frac{dy}{dx}=x+\frac{1}{x}.
Isto é apenas álgebra elementar: \dfrac{x^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}.

Passo 3

A equação agora está na forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) com g(x)=x+\dfrac{1}{x} e h(y)=\dfrac{1}{y} multiplicada de forma a permitir a separação. Reescrevendo em forma separável:
y\,\frac{dy}{dx}=x+\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad y\,dy=\left(x+\frac{1}{x}\right)dx.
Aqui usamos a técnica de separação de variáveis: multiplicamos ambos os lados por dx e por termos envolvendo apenas y para obter os diferenciais separados (isto é padrão para equações do tipo separável).

Passo 4

Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int y\,dy = \int \left(x+\frac{1}{x}\right)dx.
Agora calculamos as integrais separadamente:
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2}, porque a primitiva de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{1}{2}x^{2}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|. Aqui é importante usar \ln|x| porque a primitiva de 1/x exige valor absoluto do argumento do logaritmo (e lembraremos que x\neq 0).
Somando as primitivas do lado direito e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\frac{1}{2}y^{2}=\frac{1}{2}x^{2}+\ln|x|+C.

Passo 5

Multiplicamos a igualdade por 2 para simplificar a constante:
y^{2}=x^{2}+2\ln|x|+C_{1},
onde C_{1}=2C é uma constante arbitrária real. Aqui C_{1} reúne qualquer constante que apareça pela integração. Lembre que a igualdade só vale para x\neq 0.
Também vale checar se existem soluções constantes (por curiosidade): se y fosse constante y\equiv y_{0}, a equação original pediria 0=x^{2}+1, impossível. Logo não há solução constante real.

Passo 6

Agora isolamos y. Tomando raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando das duas possíveis sinais para a raiz) obtemos a família geral de soluções:
y=\pm\sqrt{x^{2}+2\ln|x|+C_{1}}.
Aqui o sinal \pm representa as duas ramos (positivo e negativo) que surgem ao resolver para y. Para que y seja real é preciso que o radicando satisfaça x^{2}+2\ln|x|+C_{1}\ge 0; isso pode restringir quais x são admissíveis para um dado C_{1}. Normalmente consideramos a solução em um intervalo conexo onde o radicando seja não negativo e x\neq 0.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando implicitamente a relação y^{2}=x^{2}+2\ln|x|+C_{1} obtemos
2y\,y' = 2x + 2\cdot\frac{1}{x},
ou seja y\,y' = x+\dfrac{1}{x}. Multiplicando por x recuperamos x y y' = x^{2}+1, que é exatamente a equação original. Portanto a família encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle y=\pm\sqrt{x^{2}+2\ln|x|+C}

Exercícios relacionados