Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é a função
. - Aqui
significa . - A equação envolve fator
multiplicando , então é um ponto peculiar (a equação original não é válida em ). Portanto a solução será válida em intervalos onde (ou seja, e ). - O objetivo é encontrar a família de funções
que satisfazem a equação para .
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação de forma mais clara substituindo
. Temos
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que isto é válido apenas quando
) obtém-se
Isto é apenas álgebra elementar:
.
Passo 3
A equação agora está na forma
com
e
multiplicada de forma a permitir a separação. Reescrevendo em forma separável:
Aqui usamos a técnica de separação de variáveis: multiplicamos ambos os lados por
e por termos envolvendo apenas
para obter os diferenciais separados (isto é padrão para equações do tipo separável).
Passo 4
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Agora calculamos as integrais separadamente:
-
, porque a primitiva de em relação a é . -
. -
. Aqui é importante usar porque a primitiva de exige valor absoluto do argumento do logaritmo (e lembraremos que ).
Somando as primitivas do lado direito e acrescentando a constante de integração
, obtemos
Passo 5
Multiplicamos a igualdade por
para simplificar a constante:
onde
é uma constante arbitrária real. Aqui
reúne qualquer constante que apareça pela integração. Lembre que a igualdade só vale para
.
Também vale checar se existem soluções constantes (por curiosidade): se
fosse constante
, a equação original pediria
, impossível. Logo não há solução constante real.
Passo 6
Agora isolamos
. Tomando raiz quadrada de ambos os lados (e lembrando das duas possíveis sinais para a raiz) obtemos a família geral de soluções:
Aqui o sinal
representa as duas ramos (positivo e negativo) que surgem ao resolver para
. Para que
seja real é preciso que o radicando satisfaça
; isso pode restringir quais
são admissíveis para um dado
. Normalmente consideramos a solução em um intervalo conexo onde o radicando seja não negativo e
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando implicitamente a relação
obtemos
ou seja
. Multiplicando por
recuperamos
, que é exatamente a equação original. Portanto a família encontrada está correta.