Resolva a equação diferencial linear:
encontrando a solução
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Esse tipo de equação exige o uso do fator integrante para reduzir tudo a uma derivada de produto.
Passo 2
Primeiro a gente encontra o fator integrante
Isso vale para x≠0; vamos supor x>0 para simplificar.
Passo 3
Agora multiplicamos a equação original por
:
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto
, pois
Passo 4
Então a equação vira
Para integrar o lado direito usamos a substituição
, logo
e
. Assim,
Passo 5
Finalmente, voltando à expressão de
e isolando
:
logo
Resposta
y(x)=-\frac{1}{2x}\cos(x^2)+\frac{C}{x}