Resolva a equação diferencial linear:
y^prime+yx=sen(x^2)
encontrando a solução y=y(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+1xy=sin(x^2)
Esse tipo de equação exige o uso do fator integrante para reduzir tudo a uma derivada de produto.

Passo 2

Primeiro a gente encontra o fator integrante
mu(x)=e^integral1x,dx=e^ln|x|=x
Isso vale para x≠0; vamos supor x>0 para simplificar.

Passo 3

Agora multiplicamos a equação original por mu(x)=x:
x,y'+y=xsin(x^2)
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto x,y, pois
ddx(x,y)=x,y'+y

Passo 4

Então a equação vira
ddx(x,y)=xsin(x^2)
Para integrar o lado direito usamos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx e x,dx=du/2. Assim,
integral xsin(x^2),dx=integralsin(u)du2=-12cos(u)+C=-12cos(x^2)+C

Passo 5

Finalmente, voltando à expressão de x,y e isolando y:
x,y=-tfrac12cos(x^2)+C
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y(x)=-12xcos(x^2)+Cx

Resposta

y(x)=-\frac{1}{2x}\cos(x^2)+\frac{C}{x}

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