Resolva a equação diferencial
(3 x y+y^2)+(x^2+x y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
(3xy + y^2) + (x^2 + xy) dydx = 0
Essa equação está relacionada ao estudo de equações diferenciais homogêneas, onde conseguimos simplificar resolvendo através de uma substituição que facilita a integração. Vamos precisar lembrar como identificar uma equação homogênea e como fazer a substituição adequada para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar dydx:
(3xy + y^2) + (x^2 + xy) dydx = 0 implies dydx = -3xy + y^2x^2 + xy

Passo 3

Agora, observamos que a equação é homogênea, ou seja, todas as funções de x e y são de mesmo grau. Para resolver, vamos fazer uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
t = yx implies y = t x
Isso significa que y é proporcional a x, e t é uma função que relaciona as duas.

Passo 4

Precisamos encontrar dydx em termos de t. Diferenciando y = t x em relação a x usamos a regra do produto:
dydx = t + x dtdx
Isso nos ajuda a substituir na nossa equação original.

Passo 5

Substituindo y = t x e dydx = t + x dtdx na equação que encontramos:
t + x dtdx = -3x(t x) + (t x)^2x^2 + x(t x) = -3 t x^2 + t^2 x^2x^2 + t x^2 = -x^2(3 t + t^2)x^2(1 + t) = -3 t + t^21 + t
Simplificando, cancelamos x^2 dos numeradores e denominadores.

Passo 6

Agora, temos a equação:
t + x dtdx = -3 t + t^21 + t
Vamos isolar dtdx:
x dtdx = -3 t + t^21 + t - t = -3 t + t^2 + t + t^21 + t = -4 t + 2 t^21 + t
Então:
dtdx = -4 t + 2 t^2x (1 + t)

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis t e x:
1 + tt(4 + 2 t) dt = -1x dx
Simplificando mais:
1 + t2 t (2 + t) dt = -1x dx

Passo 8

Vamos integrar os dois lados. Primeiro, a parte da esquerda com t:
integral 1 + t2 t (2 + t) dt = 12 integral ( 1t + 12 + t ) dt = 12 ln |t| + 12 ln |2 + t| + C
E a parte da direita com x:
integral -1x dx = -ln |x| + C

Passo 9

Unindo as integrações, temos:
12 ln |t| + 12 ln |2 + t| = -ln |x| + C
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
ln |t| + ln |2 + t| = -2 ln |x| + C'
Usando propriedades dos logaritmos:
ln |t(2 + t)| = ln ( C'x^2 )
Onde C' = e^C é uma constante geral.

Passo 10

Retornando à variável original t = yx, substituímos de volta:
ln ( yx ( 2 + yx ) ) = ln ( C'x^2 )
Eliminando os logaritmos:
yx ( 2 + yx ) = Cx^2
Multiplicando ambos os lados por x^2:
y (2 + yx) = C
Simplificando:
2 y + y^2x = C
Ou, reorganizando:
y^2 + 2 x y = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y^2 + 2 x y = C
Onde C é uma constante real qualquer.

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