Resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Essa equação está relacionada ao estudo de equações diferenciais homogêneas, onde conseguimos simplificar resolvendo através de uma substituição que facilita a integração. Vamos precisar lembrar como identificar uma equação homogênea e como fazer a substituição adequada para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, observamos que a equação é homogênea, ou seja, todas as funções de
e
são de mesmo grau. Para resolver, vamos fazer uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Isso significa que
é proporcional a
, e
é uma função que relaciona as duas.
Passo 4
Precisamos encontrar
em termos de
. Diferenciando
em relação a
usamos a regra do produto:
Isso nos ajuda a substituir na nossa equação original.
Passo 5
Substituindo
e
na equação que encontramos:
Simplificando, cancelamos
dos numeradores e denominadores.
Passo 6
Agora, temos a equação:
Vamos isolar
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Simplificando mais:
Passo 8
Vamos integrar os dois lados. Primeiro, a parte da esquerda com
:
E a parte da direita com
:
Passo 9
Unindo as integrações, temos:
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos:
Onde
é uma constante geral.
Passo 10
Retornando à variável original
, substituímos de volta:
Eliminando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Ou, reorganizando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante real qualquer.