Resolva a equação diferencial
(y cos x+2 x e^y)+(sen x+x^2 e^y-1) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
(y cos x + 2x e^y) + (sin x + x^2 e^y - 1) y^prime = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, vamos verificar se ela é de fato exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes M e N, que são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. A equação pode ser escrita como:
M(x, y) + N(x, y) dydx = 0
Onde:
M(x, y) = y cos x + 2x e^y
N(x, y) = sin x + x^2 e^y - 1

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x, e ver se elas são iguais.
Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = cos x + 2x e^y
Calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = cos x + 2x e^y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é, de fato, exata.

Passo 4

Sabendo que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ g(y) $ usando a segunda condição g(y) .
Derivando $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
partial Fpartial y = N
Essa derivada deve ser igual a $ N $:
F(x, y)
Cancelando termos iguais em ambos os lados:
y
Integrando em relação a $ y $:
partial Fpartial y = sin x + x^2 e^y + g'(y)
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos $ g(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
g(y)
Para escrever a solução geral da equação diferencial, estabelecemos que $ F(x, y) $ é constante:
F(x, y)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y sin x + x^2 e^y - y = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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