Resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, vamos verificar se ela é de fato exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação. Vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes M e N, que são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. A equação pode ser escrita como:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x, e ver se elas são iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é, de fato, exata.
Passo 4
Sabendo que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ g(y) $ usando a segunda condição
.
Derivando $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
Essa derivada deve ser igual a $ N $:
Cancelando termos iguais em ambos os lados:
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ g(y) $ de volta na expressão de $ F(x, y) $:
Para escrever a solução geral da equação diferencial, estabelecemos que $ F(x, y) $ é constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.