Resolva a equação diferencial (2 x+3) d x+(2 y-2) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(2x+3),dx + (2y-2),dy = 0
Isso é um caso de equação exata, pois podemos escrevê-la na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M(x,y)=2x+3 e N(x,y)=2y-2. Para resolver, vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x+3)=0,
partial Npartial x = partialpartial x(2y-2)=0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = 2x+3
Integrando em relação a x, obtemos
F(x,y) = integral (2x+3),dx = x^2 + 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos a outra condição
partial Fpartial y = N(x,y) = 2y-2
Por outro lado,
partial Fpartial y = ddyl(x^2+3x+h(y)r) = h'(y)
Logo,
h'(y)=2y-2 Longrightarrow h(y)=integral(2y-2),dy = y^2 -2y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), temos a função potencial
F(x,y)=x^2+3x + y^2 -2y
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
F(x,y)=C,
ou seja
x^2 + y^2 + 3x - 2y = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x^2 + y^2 + 3x - 2y = C

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