Resolva o problema:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0
satisfazendo a Condição de Contorno: y(1)=0 e y(\pi)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições de contorno; preciso encontrar a função y(x) que satisfaça tudo isto. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y''-2y'+2y=0.
  • Condições de contorno: y(1)=0,\qquad y(\pi)=1.
A tarefa é achar y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições acima.

Passo 2

Método para resolver homogênea com coeficientes constantes: tentar soluções da forma y(x)=e^{rx}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vamos aplicar essa substituição e explicar passo a passo.
Substituindo y=e^{rx} tem-se:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação original:
r^{2}e^{rx} - 2 r e^{rx} + 2 e^{rx}=0.
Podemos dividir por e^{rx} (nunca zero), obtendo a equação característica:
r^{2}-2r+2=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática para r usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \,r^{2}-2r+2=0 temos:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
Portanto as raízes são complexas conjugadas \,r=1\pm i.
Quando as raízes da característica são \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), a solução geral real da equação diferencial é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais. Aqui \alpha=1 e \beta=1, logo a solução geral é
y(x)=e^{x}\big(A\cos x + B\sin x\big),
onde troquei C_{1},C_{2} por A,B para facilitar.

Passo 4

Agora aplico as condições de contorno para determinar A e B.
Primeira condição: y(1)=0. Substituindo x=1 em y(x)
e^{1}\big(A\cos 1 + B\sin 1\big)=0.
Como e^{1}\neq0, simplifica para
A\cos 1 + B\sin 1 = 0.
Segunda condição: y(\pi)=1. Substituindo x=\pi em y(x)
e^{\pi}\big(A\cos\pi + B\sin\pi\big)=1.
Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0 isso vira
e^{\pi}\big(A\cdot(-1) + B\cdot 0\big)=1,
ou seja
-A e^{\pi}=1.

Passo 5

Resolver as equações para A e B. Da última equação:
A = -e^{-\pi}.
Substituir esse A na primeira equação A\cos 1 + B\sin 1 = 0
(-e^{-\pi})\cos 1 + B\sin 1 = 0.
Isolando B:
B\sin 1 = e^{-\pi}\cos 1,
logo (como \sin 1\neq0)
B = e^{-\pi}\frac{\cos 1}{\sin 1} = e^{-\pi}\cot 1.

Passo 6

Substituir A e B na solução geral. Temos
y(x)=e^{x}\Big(-e^{-\pi}\cos x + e^{-\pi}\cot 1\;\sin x\Big).
Fatorando e^{-\pi}:
y(x)=e^{x-\pi}\big(-\cos x + \cot 1\;\sin x\big).

Passo 7

Verificação rápida (checar as condições de contorno):
  • Em x=\pi: \sin\pi=0, \cos\pi=-1, então
y(\pi)=e^{\pi-\pi}\big(-\cos\pi + \cot 1\cdot 0\big)=1\cdot(-(-1))=1,
ok.
  • Em x=1: \cot 1\sin 1=\cos 1, logo o parêntese fica -\cos 1+\cos 1=0, então y(1)=0, ok.
Pronto — a solução satisfaz a equação diferencial e ambas as condições de contorno. Força aí nos estudos, tá indo bem!

Resposta

y(x)=e^{x-\pi}\big(-\cos x + \cot 1\;\sin x\big)

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