Resolva o problema:
satisfazendo a Condição de Contorno:
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições de contorno; preciso encontrar a função
que satisfaça tudo isto. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condições de contorno:
A tarefa é achar
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições acima.
Passo 2
Método para resolver homogênea com coeficientes constantes: tentar soluções da forma
. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vamos aplicar essa substituição e explicar passo a passo.
Substituindo
tem-se:
Substituindo na equação original:
Podemos dividir por
(nunca zero), obtendo a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
temos:
Portanto as raízes são complexas conjugadas
.
Quando as raízes da característica são
(com
), a solução geral real da equação diferencial é
onde
são constantes reais. Aqui
e
, logo a solução geral é
onde troquei
por
para facilitar.
Passo 4
Agora aplico as condições de contorno para determinar
e
.
Primeira condição:
. Substituindo
em
dá
Como
, simplifica para
Segunda condição:
. Substituindo
em
dá
Usando
e
isso vira
ou seja
Passo 5
Resolver as equações para
e
. Da última equação:
Substituir esse
na primeira equação
dá
Isolando
:
logo (como
)
Passo 6
Substituir
e
na solução geral. Temos
Fatorando
:
Passo 7
Verificação rápida (checar as condições de contorno):
- Em
: , , então
ok.
- Em
: , logo o parêntese fica , então , ok.
Pronto — a solução satisfaz a equação diferencial e ambas as condições de contorno. Força aí nos estudos, tá indo bem!