Resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve $ x $, $ y $ e $ y’ $. A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, achar uma função potencial que nos dá a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de equações diferenciais exatas. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Aqui, identificamos $ M = 2x + y^{2} $ e $ N = 2xy $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função potencial $ F(x, y) $. Primeiro, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e que vamos determinar em seguida.
Passo 5
Para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Isso nos dá:
Integrando, temos $ h(y) = C $, onde $ C $ é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação é: