Resolva a equação
2 x+y^2+2 x y y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve $ x $, $ y $ e $ y’ $. A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, achar uma função potencial que nos dá a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de equações diferenciais exatas. A equação dada é:
2x + y^2 + 2xy y' = 0
Podemos reorganizar isso para:
(2x + y^2) , dx + 2xy , dy = 0
Aqui, identificamos $ M = 2x + y^{2} $ e $ N = 2xy $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = 2y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 4

Vamos encontrar a função potencial $ F(x, y) $. Primeiro, integramos $ M $ em relação a $ x $:
F(x, y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e que vamos determinar em seguida.

Passo 5

Para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
h(y)
Isso nos dá:
F(x, y)
Integrando, temos $ h(y) = C $, onde $ C $ é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
x^2 + x y^2 = C

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