Resolva a equação diferencial
analiticamente e por série de potências.
Passo 1
Neste exercício, temos que resolver a equação diferencial $ y^{\prime} - \frac{1}{2} y = 0 $ de duas maneiras: analiticamente e por meio de uma série de potências. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e técnicas de expansão em séries para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma analítica. A equação dada é linear de primeira ordem e pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante.
Passo 3
A equação diferencial está na forma padrão: $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde neste caso $ P(x) = -\frac{1}{2} $ e $ Q(x) = 0 $. Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos:
onde C é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para y, temos:
Passo 8
Agora, vamos resolver a mesma equação por meio de uma série de potências. Assumimos que a solução y pode ser expressa como uma série:
Passo 9
Calculamos a derivada de y:
Passo 10
Substituímos y e y’ na equação diferencial:
Passo 11
Ajustamos os índices das somas para que ambas sejam em termos de $ x^n $:
Passo 12
Agora, combinamos as somas:
Passo 13
Para que isso seja válido para todo x, o coeficiente de cada potência de x deve ser zero. Então, temos a relação de recorrência:
Passo 14
Definimos $ a_0 $ como a constante inicial C. Usando a relação de recorrência, encontramos:
Passo 15
Portanto, a solução por série de potências é:
Resposta
A solução da equação diferencial é $ y = C e^{\frac{1}{2}x} $.