Resolva a equação diferencial
y^prime-12 y=0
analiticamente e por série de potências.

Passo 1

Neste exercício, temos que resolver a equação diferencial $ y^{\prime} - \frac{1}{2} y = 0 $ de duas maneiras: analiticamente e por meio de uma série de potências. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e técnicas de expansão em séries para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma analítica. A equação dada é linear de primeira ordem e pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante.

Passo 3

A equação diferencial está na forma padrão: $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde neste caso $ P(x) = -\frac{1}{2} $ e $ Q(x) = 0 $. Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $.

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(x) = e^integral -12 dx = e^ -12x

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
e^ -12x y' - 12 e^ -12x y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^ -12x y ) = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos:
e^ -12x y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para y, temos:
y = C e^ 12x

Passo 8

Agora, vamos resolver a mesma equação por meio de uma série de potências. Assumimos que a solução y pode ser expressa como uma série:
y = sumn=0^infty an x^n

Passo 9

Calculamos a derivada de y:
y' = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 10

Substituímos y e y’ na equação diferencial:
sumn=1^infty n an x^n-1 - 12 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 11

Ajustamos os índices das somas para que ambas sejam em termos de $ x^n $:
x^n

Passo 12

Agora, combinamos as somas:
sumn=0^infty ( (n+1) an+1 - 12 an ) x^n = 0

Passo 13

Para que isso seja válido para todo x, o coeficiente de cada potência de x deve ser zero. Então, temos a relação de recorrência:
(n+1) an+1 - 12 an = 0 Rightarrow an+1 = 12(n+1) an

Passo 14

Definimos $ a_0 $ como a constante inicial C. Usando a relação de recorrência, encontramos:
a0

Passo 15

Portanto, a solução por série de potências é:
y = sumn=0^infty C2^n n! x^n = C sumn=0^infty (x/2)^nn! = C e^x/2

Resposta

A solução da equação diferencial é $ y = C e^{\frac{1}{2}x} $.

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