Use série de potências para resolver a equação
2 x y^prime-y=0

Passo 1

Na equação diferencial 2 x y′ − y = 0 vemos que x = 0 é um ponto singular regular. Para resolver usando série de potências, aplicamos o método de Frobenius em torno de x = 0.

Passo 2

Assumimos uma série de Frobenius:
y(x)=sumn=0^infty an x^n+r, y'(x)=sumn=0^infty(n+r)an x^n+r-1
Substituindo em 2x y′ − y = 0:
2sumn=0^infty(n+r)an x^n+r-sumn=0^infty an x^n+r =sumn=0^infty[2(n+r)-1]an x^n+r=0
Isso dá a condição em cada coeficiente:
[2(n+r)-1]an=0
A equação indicial (n=0) é
2r-1=0Rightarrow r=tfrac12,
e para n>0 temos 2(n+r)−1≠0, logo a_n=0. Assim a solução é
y(x)=a_0 x^{1/2}, onde a_0 é constante.

Resposta

y(x)=C,x^12

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