Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
Isso cai na categoria de equações lineares com coeficientes constantes. Vamos usar dois ingredientes principais: (1) a solução geral da equação homogênea, obtida pela equação característica, e (2) o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica:
cuja fatoração é
. Assim as raízes são
e
, e a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular de
Como
é solução da homogênea (raiz
), tentamos o ansatz multiplicado por
:
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
e igualando a
resulta em
. Logo
Passo 4
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
Em seguida derivamos:
logo em
:
Resolvendo o sistema
vem
e
.