Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^-x, y(0)=2, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y''+3y'+2y=e^-x, y(0)=2, y'(0)=0
Isso cai na categoria de equações lineares com coeficientes constantes. Vamos usar dois ingredientes principais: (1) a solução geral da equação homogênea, obtida pela equação característica, e (2) o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
y''+3y'+2y=0
Formamos a equação característica:
r^2+3r+2=0,
cuja fatoração é (r+1)(r+2)=0. Assim as raízes são r=-1 e r=-2, e a solução geral homogênea é
yh(x)=C1e^-x+C2e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular de
y''+3y'+2y=e^-x
Como e^-x é solução da homogênea (raiz r=-1), tentamos o ansatz multiplicado por x:
yp(x)=A x e^-x
Calculamos as derivadas:
yp'=A e^-x-A x e^-x,
yp''=-2A e^-x+A x e^-x
Substituindo em y''+3y'+2y e igualando a e^-x resulta em A=1. Logo
yp(x)=x e^-x

Passo 4

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x)=C1e^-x+C2e^-2x+x e^-x
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
y(0)=C1+C2+0=2Rightarrow C1+C2=2
Em seguida derivamos:
y'(x)=-C1e^-x-2C2e^-2x+e^-x-x e^-x,
logo em x=0:
y'(0)=-C1-2C2+1=0Rightarrow C1+2C2=1
Resolvendo o sistema
C1+C2=2,C1+2C2=1,
vem C1=3 e C2=-1.

Resposta

y(x)=3e^-x-e^-2x+x e^-x

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