Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis (Não esqueça de manter a constante na resposta final).
y^prime=(cos ^2 x)(cos ^2 2 y)

Passo 1

A gente tem a equação diferencial y'=cos^2x,cos^2(2y). Isso é do tipo separável, ou seja, dá pra juntar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro. Vamos separar variáveis e integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Começamos reescrevendo em forma separável. Dividindo por cos^2(2y) e multiplicando por dx, fica
dycos^2(2y) = cos^2 x,dx
E como 1/cos^2(2y)=sec^2(2y), o lado esquerdo vira integralsec^2(2y),dy.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral sec^2(2y),dy = integral cos^2 x,dx
Para o lado esquerdo, fazemos a substituição u=2y (logo du=2,dy e dy=du/2). Assim:
integral sec^2(2y),dy = integral sec^2(u)du2 = 12tan(u) = 12tan(2y)
No lado direito usamos cos^2x=tfrac1+cos2x2 e obtemos:
integral cos^2 x,dx = 12integral(1+cos2x)dx = 12l(x + 12sin2xr) + C = x2 + sin2x4 + C

Passo 4

Igualando as integrais:
12tan(2y) = x2 + sin2x4 + C
Multiplicando tudo por 2 e redefinindo a constante como C1=2C, temos:
tan(2y) = x + sin2x2 + C1
Observando que tfracsin2x2=sin xcos x, dá
tan(2y) = x + sin xcos x + C1

Passo 5

Para deixar explicito y, aplicamos arctan e dividimos por 2. A solução geral é:
y(x) = 12arctanl(x + sin xcos x + C1r)

Resposta

y(x) = tfrac12arctanl(x + sin xcos x + Cr)

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