Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+y=cotg(x), y(1)=0, y^prime(1)=1
Dica: Encontre os quatro primeiros termos do desenvolvimento em serie de Taylor.

Passo 1

Temos a equação diferencial y''+y=cot(x) com as condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=1. O objetivo é desenvolver uma série de Taylor de y(x) em torno de x=1, ou seja, escrever
y(x)=sumn=0^infty an,(x-1)^n
e encontrar os coeficientes a0, a1, a2, a3 usando as condições iniciais e as derivadas da EDO avaliadas em x=1.

Passo 2

Da definição de série de Taylor e das condições iniciais, temos
a0 = y(1) = 0, a1 = y'(1) = 1

Passo 3

Para achar a2, usamos que
a2 = y''(1)2!
Da própria EDO em x=1 vem y''(1)=cot(1), logo
a2 = cot(1)2

Passo 4

Para a3, diferenciamos a EDO:
y'''+y' = -csc^2(x)
Avaliando em x=1
y'''(1) = -csc^2(1) - y'(1) = -csc^2(1) - 1,
e assim
a3 = y'''(1)3! = -csc^2(1)-16

Resposta

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