Resolva a equação diferencial
y^prime prime+4 y=g(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0
usando a Transformada de Laplace e a propriedade da derivada da Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = g(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, usando a transformada de Laplace e a propriedade da transformada de derivadas. Vamos precisar da definição
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
e da convolução para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 4y = g(t)
obtemos
Ly''(s) + 4,Ly(s) = Lg(s)
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos
Ly''(s)=s^2Y(s)
Logo
s^2Y(s) + 4Y(s) = G(s),
onde Y(s)=Ly(s) e G(s)=Lg(s).

Passo 3

Isolando Y(s) na equação
s^2Y(s) + 4Y(s) = G(s)
fatoramos Y(s):
Y(s)l(s^2+4r)=G(s) Longrightarrow Y(s)=G(s)s^2+4

Passo 4

Reconhecemos que
1s^2+4
é a transformada de
h(t)=12sin(2t)
Pelo teorema da convolução, a transformada inversa de
tfracG(s)s^2+4
é o produto de convolução
y(t)=(h * g)(t) =integral0^th(t-tau),g(tau),dtau =12integral0^tsinl(2(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

y(t) =12integral0^tsinl(2(t-tau)r),g(tau),dtau

Exercícios relacionados