(a) Escreva a função
g(t)= 0 ; & 0 <= t<5 15(t-5) ; & 5 <= t<10 1 ; & t >= 10
em termos da função degrau.
(b) Calcule a Transformada de Laplace g(t);
(c) Calcule a Transformada de Laplace Inversa de
F(s)=15(s^4+4 s^2)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(t)= 0, & 0 <= t < 5, 15(t-5), & 5 <= t < 10, 1, & t >= 10,
pede (a) escrevê-la com funções degrau u(t-a), (b) calcular Lg(t) e (c) encontrar a inversa de Laplace de
F(s)=15l(s^4+4s^2r)
Vamos usar propriedades de deslocamento no tempo para (a) e (b) e frações parciais para (c).

Passo 2

Para escrever g(t) em termos de degrau notamos que o segmento linear de 5 a 10 vale tfrac15(t-5) e, a partir de 10, g(t) fica constante igual a 1. Uma forma compacta é
g(t) =15l(t-5r),u(t-5) -15l(t-10r),u(t-10)
Você pode verificar que para t<5 tudo é zero; para 5<= t<10 só sobrevive tfrac15(t-5); e para t>=10 aparece ainda -tfrac15(t-10), de modo que g(t)=tfract-5-(t-10)5=1.

Passo 3

Usando L(t-a)u(t-a)=e^-as/s^2, temos
Lg(t) =15,e^-5ss^2 -15,e^-10ss^2 =15s^2l(e^-5s-e^-10sr)

Passo 4

Para F(s)=tfrac15(s^4+4s^2)=tfrac15,s^2(s^2+4) fazemos frações parciais:
1s^2(s^2+4) =As+Bs^2+Cs+Ds^2+4
Resolvendos coeficientes obtemos A=0, B=tfrac14, C=0, D=-tfrac14. Logo
1s^2(s^2+4) =14s^2-14(s^2+4),
e
F(s) =15l(14s^2-14(s^2+4)r) =120l(1s^2-1s^2+4r)
Agora usamos L^-11/s^2=t e L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t).

Passo 5

Portanto, a transformada inversa é
f(t)=120l(t-tfrac12sin(2t)r) =t20-sin(2t)40

Resposta

(a) g(t)=tfrac15(t-5),u(t-5)-tfrac15(t-10),u(t-10).
(b) Lg(t)=tfrac15s^2l(e^-5s-e^-10sr).
(c) L^-1F(s)=t20-sin(2t)40.

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