Para quais valores de , o sistema abaixo será possível e determinado?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir para quais valores de kinR o sistema de três equações lineares em três incógnitas será possível e determinado. O tema aqui é sistemas lineares e a condição para ter solução única é que a matriz de coeficientes tenha determinante diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de coeficientes do sistema. As equações são
x + y + z = 6, 2x + 3y + k z = 14, x + k y + 2z = 10
Logo, a matriz de coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & k 1 & k & 2
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante de A. Para uma matriz 3×3, podemos usar a expansão de Laplace na primeira linha ou a regra de Sarrus. Usando expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet3 & k k & 2 - 1cdotdet2 & k 1 & 2 + 1cdotdet2 & 3 1 & k
Para que o sistema seja possível e determinado (solução única), precisamos de
det(A) neq 0 Longrightarrow -k^2 + 3k - 1 neq 0
Multiplicando por -1,
k^2 - 3k + 1 neq 0
As raízes da equação k^2 - 3k + 1 = 0 são
k = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Portanto, o determinante só anula nessas duas escolhas de k.
Resposta
O sistema é possível e determinado para todos os valores de k reais, exceto k = 3+raiz52 e k = 3-raiz52.
Em notação: k in R setminus tfrac3+raiz52,tfrac3-raiz52.