Para quais valores de k in R, o sistema abaixo será possível e determinado?
rlr x+y y+z= & 6 2 x+3 y+k z= & 14 x+k y+2 z= & 10

Passo 1

O enunciado pede para descobrir para quais valores de kinR o sistema de três equações lineares em três incógnitas será possível e determinado. O tema aqui é sistemas lineares e a condição para ter solução única é que a matriz de coeficientes tenha determinante diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de coeficientes do sistema. As equações são
x + y + z = 6, 2x + 3y + k z = 14, x + k y + 2z = 10
Logo, a matriz de coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & k 1 & k & 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante de A. Para uma matriz 3×3, podemos usar a expansão de Laplace na primeira linha ou a regra de Sarrus. Usando expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet3 & k k & 2 - 1cdotdet2 & k 1 & 2 + 1cdotdet2 & 3 1 & k
Calculando cada 2×2:
det(A) = 1,(3cdot2 - k^2) - (2cdot2 - kcdot1) + (2,k - 3cdot1)
Isso dá
det(A) = (6 - k^2) - (4 - k) + (2k - 3) = -k^2 + 3k - 1

Passo 4

Para que o sistema seja possível e determinado (solução única), precisamos de
det(A) neq 0 Longrightarrow -k^2 + 3k - 1 neq 0
Multiplicando por -1,
k^2 - 3k + 1 neq 0
As raízes da equação k^2 - 3k + 1 = 0 são
k = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Portanto, o determinante só anula nessas duas escolhas de k.

Resposta

O sistema é possível e determinado para todos os valores de k reais, exceto k = 3+raiz52 e k = 3-raiz52.
Em notação: k in R setminus tfrac3+raiz52,tfrac3-raiz52.

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