Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+y=x^2, y(0)=0, y^prime(0)=1
Utilize séries de potências.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + y = x^2 com y(0)=0 e y'(0)=1, usando séries de potências. Vamos aplicar o método de série para EDOs lineares de 2ª ordem.

Passo 2

Propomos uma solução em série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituindo na equação y''+y=x^2 temos
sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2+sumn=0^infty anx^n = x^2
Reindexando o primeiro somatório com k=n-2:
sumk=0^infty (k+2)(k+1)ak+2x^k + sumk=0^infty akx^k = x^2
Logo, comparando coeficientes de x^k:
(k+2)(k+1)ak+2 + ak = 1,&k=2,0,&kneq2

Passo 4

As condições iniciais dão a0=y(0)=0 e a1=y'(0)=1. Usando a recorrência:
  • Para k=0: 2cdot1,a2 + a0=0 a2=0.
  • Para k=1: 3cdot2,a3 + a1=0 a3=-1/6.
  • Para k=2: 4cdot3,a4 + a2=1 a4=1/12.
  • Para k=3: 5cdot4,a5 + a3=0 a5=1/120.

Passo 5

Os primeiros termos da série são
y(x)=x - x^36 + x^412 + x^5120 - x^6360 - x^75040+cdots
Reconhecemos essa expansão como a soma da solução geral de y''+y=0 com o particular x^2-2.

Passo 6

Chegando à forma fechada, a solução geral é
y(x)=C1cos x + C2sin x + x^2 - 2
Aplicando as condições iniciais obtém-se C1=2 e C2=1.

Resposta

y(x)=2cos x + sin x + x^2 - 2

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