Resolva a equação diferencial:
Utilize séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com
e
, usando séries de potências. Vamos aplicar o método de série para EDOs lineares de 2ª ordem.
Passo 2
Propomos uma solução em série de potências:
então
Passo 3
Substituindo na equação
temos
Reindexando o primeiro somatório com
:
Logo, comparando coeficientes de
:
Passo 4
As condições iniciais dão
e
. Usando a recorrência:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Passo 5
Os primeiros termos da série são
Reconhecemos essa expansão como a soma da solução geral de
com o particular
.
Passo 6
Chegando à forma fechada, a solução geral é
Aplicando as condições iniciais obtém-se
e
.