Utilize o método de variação de parâmetros na equação:
y^(3)-4 y^prime=sin (x), y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO de terceira ordem não-homogênea
y^(3) - 4y' = sin(x), y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é solução de EDOs lineares de coeficientes constantes e variação de parâmetros em ordem três.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução geral da parte homogênea. A equação característica de
y^(3) - 4y' = 0
é
r^3 - 4r = r(r^2-4) = r(r-2)(r+2)=0
com raízes r=0,2,-2. Logo uma base de soluções homogêneas é
y1=1, y2=e^2x, y3=e^-2x

Passo 3

Para a variação de parâmetros, propomos
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2 + u3(x)y3
e impomos o sistema
u1' y1 + u2' y2 + u3' y3 = 0, u1' y1' + u2' y2' + u3' y3' = 0, u1' y1'' + u2' y2'' + u3' y3'' = sin(x)
Substituindo yi, yi', yi'' resulta no sistema
u1' + e^2xu2' + e^-2xu3' = 0,2e^2xu2' -2e^-2xu3'=0,4e^2xu2' +4e^-2xu3'=sin(x)

Passo 4

Resolvendo o sistema achamos
u2' = sin(x)8e^2x, u3' = e^4xu2' = e^2xsin(x)8, u1' = -2e^2xu2' = -sin(x)4

Passo 5

Agora integramos cada ui':
u1 = integral -sin(x)4,dx = cos(x)4, u2 = integral sin(x)8e^2x,dx = -e^-2x(2sin(x)+cos(x))40, u3 = integral e^2xsin(x)8,dx = e^2x(2sin(x)-cos(x))40

Passo 6

Construindo a particular
yp = u1 + u2e^2x + u3e^-2x = cos(x)4 -2sin(x)+cos(x)40 +2sin(x)-cos(x)40 = cos(x)5

Passo 7

A solução geral é
y = C1 + C2e^2x + C3e^-2x + cos(x)5
Impondo as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1
acaba-se obtendo
C1 = -tfrac12, C2=C3=tfrac320

Passo 8

Portanto a solução final, escrevendo e^2x+e^-2x=2cosh(2x), fica

Resposta

y(x) = -tfrac12 + tfrac310cosh(2x) + tfrac15cos(x)

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