Sendo dados y(0)=1 e y^prime(0)=0, e sabendo-se que
y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^-2 t t^3
encontre Y(s), isto é, a transformada de Laplace de y(t).

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais fornecidas: $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A equação diferencial é:
y(0) = 1
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, convertendo funções no domínio do tempo para o domínio de s (complexo).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada tem propriedades específicas. Vamos lembrar essas propriedades:
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
Ly''(t) = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Ly'' - 4Ly' + 4Ly = Le^-2t t^3
Substituindo pelas propriedades das derivadas:
[s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)] - 4[sY(s) - y(0)] + 4Y(s) = Le^-2t t^3

Passo 4

Agora, substituímos os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0

Passo 5

Vamos juntar os termos que contêm $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 6

Precisamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. A Transformada de Laplace de $ e^{-at} t^n $ é dada por:
e^-at t^n
Aqui, $ a = 2 $ e $ n = 3 $, então:
Le^-at t^n = n!(s + a)^n+1

Passo 7

Substituindo essa expressão de volta na equação:
(s^2 - 4s + 4)Y(s) = s - 4 + 6(s + 2)^4
Agora, resolvemos para $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 8

Simplificamos o denominador $ s^2 - 4s + 4 $, que pode ser fatorado como:
s^2 - 4s + 4
Então, substituindo de volta:
s^2 - 4s + 4 = (s - 2)^2

Passo 9

Finalmente, para expressar $ Y(s) $ de forma completa:
Y(s)

Resposta

A Transformada de Laplace de $ y(t) $ é:
y(t)

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