Sendo dados
e
, e sabendo-se que
encontre
, isto é, a transformada de Laplace de
.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais fornecidas: $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A equação diferencial é:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, convertendo funções no domínio do tempo para o domínio de s (complexo).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada tem propriedades específicas. Vamos lembrar essas propriedades:
Onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas propriedades das derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos juntar os termos que contêm $ Y(s) $:
Passo 6
Precisamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito. A Transformada de Laplace de $ e^{-at} t^n $ é dada por:
Aqui, $ a = 2 $ e $ n = 3 $, então:
Passo 7
Substituindo essa expressão de volta na equação:
Agora, resolvemos para $ Y(s) $:
Passo 8
Simplificamos o denominador $ s^2 - 4s + 4 $, que pode ser fatorado como:
Então, substituindo de volta:
Passo 9
Finalmente, para expressar $ Y(s) $ de forma completa:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ y(t) $ é: