Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família de soluções. Resolva o problema de valor inicial formado com cada uma das condições iniciais, encontrando em cada caso o intervalo máximo de definição e fazendo um esboço da solução:
(a)
,
(b)
,
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
e pede (i) a família geral de soluções com esboço e (ii) as soluções do PVI com
,
e
, indicando o intervalo máximo de definição e esboçando cada uma. O conteúdo usado será a análise de sinal de
para determinar o valor de
e a integração em cada caso, lembrando que
vale
ou
.
Passo 2
Precisamos ver em que regiões do plano
Essas regiões são determinadas pelos sinais de : quando têm o mesmo sinal,
; quando têm sinais opostos,
.
Passo 3
Integrando em cada caso de valor constante de
, obtemos
onde
é constante de integração. Essas duas famílias de retas aparecem em cada quadrante do plano, trocando de ramo ao cruzar os eixos.
Passo 4
Esboço da família de soluções: no primeiro e quarto quadrantes (
) temos retas de inclinação
; no segundo e terceiro quadrantes (
) temos retas de inclinação
. Ao cruzar o eixo
ou
a derivada muda de sinal, mas a solução não pode atravessar esses eixos porque aí
e a EDO deixa de estar definida.
Passo 5
Condição
: como
e
, estamos no ramo
. Logo
e
. Assim
Esse arco de solução vive enquanto
(não podemos chegar a
) e
. De fato para todo
,
. Portanto o intervalo máximo é
Passo 6
Condição
: aqui
e
, ou seja
e
. Integramos
e
. Logo
Esse arco está definido enquanto
(não podemos cruzar
) e
. Como para todo
,
se
, mas em
isto é sempre verdade. Então o intervalo máximo é
Passo 7
Condição
: aqui
e
, logo
e
. Integramos
e
. Assim
Esse arco vive enquanto
(não podemos cruzar
) e
. A condição
dá
. Portanto o intervalo máximo é
Resposta
Para cada PVI obtemos:
(a) :
(a)
(b)
:
(c)
: