Resolva a equação diferencial y^prime=x y|x y|, (x neq 0, y neq 0). Faça um esboço da família de soluções. Resolva o problema de valor inicial formado com cada uma das condições iniciais, encontrando em cada caso o intervalo máximo de definição e fazendo um esboço da solução:
(a) y(1)=2,
(b) y(-1)=2,
(c) y(2)=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y'=x,ylvert x,yrvert, xneq0,;yneq0,
e pede (i) a família geral de soluções com esboço e (ii) as soluções do PVI com y(1)=2, y(-1)=2 e y(2)=-1, indicando o intervalo máximo de definição e esboçando cada uma. O conteúdo usado será a análise de sinal de x,y para determinar o valor de y' e a integração em cada caso, lembrando que y' vale +1 ou -1.

Passo 2

Precisamos ver em que regiões do plano
Essas regiões são determinadas pelos sinais de : quando têm o mesmo sinal, ; quando têm sinais opostos, .

Passo 3

Integrando em cada caso de valor constante de y', obtemos
y'=+1implies y(x)=x+C, y'=-1implies y(x)=-,x+C,
onde C é constante de integração. Essas duas famílias de retas aparecem em cada quadrante do plano, trocando de ramo ao cruzar os eixos.

Passo 4

Esboço da família de soluções: no primeiro e quarto quadrantes ( x,y>0) temos retas de inclinação +1; no segundo e terceiro quadrantes ( x,y<0) temos retas de inclinação -1. Ao cruzar o eixo x ou y a derivada muda de sinal, mas a solução não pode atravessar esses eixos porque aí xy=0 e a EDO deixa de estar definida.

Passo 5

Condição y(1)=2: como 1>0 e 2>0, estamos no ramo y'=+1. Logo
y(x)=x+C,
e 2=y(1)=1+Cimplies C=1. Assim
y(x)=x+1
Esse arco de solução vive enquanto x>0 (não podemos chegar a x=0) e y(x)>0. De fato para todo x>0, y(x)=x+1>0. Portanto o intervalo máximo é
(0,infty)

Passo 6

Condição y(-1)=2: aqui -1<0 e 2>0, ou seja x,y<0 e y'=-1. Integramos
y(x)=-,x+C,
e 2=y(-1)= -(-1)+C=1+Cimplies C=1. Logo
y(x)=-,x+1
Esse arco está definido enquanto x<0 (não podemos cruzar x=0) e y(x)>0. Como para todo x<0, -x+1>0 se x<1, mas em x<0 isto é sempre verdade. Então o intervalo máximo é
(-infty,0)

Passo 7

Condição y(2)=-1: aqui 2>0 e -1<0, logo x,y<0 e y'=-1. Integramos
y(x)=-,x+C,
e -1=y(2)=-2+Cimplies C=1. Assim
y(x)=-,x+1
Esse arco vive enquanto x>0 (não podemos cruzar x=0) e y(x)<0. A condição y(x)<0 -x+1<0iff x>1. Portanto o intervalo máximo é
(1,infty)

Resposta

Para cada PVI obtemos:
(a) y(1)=2:
y(x)=x+1, xin(0,infty)
(b) y(-1)=2:
y(x)=-,x+1, xin(-infty,0)
(c) y(2)=-1:
y(x)=-,x+1, xin(1,infty)

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