Utilize o método de variação de parâmetros para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
utilizando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir a solução particular por variação de parâmetros e, por fim, aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Começamos encontrando a solução complementar (homogênea). A equação característica é
Logo, temos raiz tripla . Três soluções independentes são
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a variação de parâmetros, procuramos uma solução particular da forma
Impondo as condições auxiliares
garantimos que só precisaremos resolver para ui'.
Passo 4
Calculamos as derivadas necessárias:
y_1=e^x\implies y_1’=ex,;y_1’’=ex;
y_2=xe^x\implies y_2’=(x+1)ex,;y_2’’=(x+2)ex;
y_3=x2ex\implies y_3’=(x2+2x)ex,;y_3’’=(x2+4x+2)ex.
Substituindo no sistema e dividindo por e^x obtemos
Faltam as constantes Ci. Usamos as condições iniciais:
Em x=0 temos y(0)=C1=0
A derivada y'=e^x(f+f') com f=C1+C2x+C3x^2+tfracx^36 leva a y'(0)=C1+C2=1 e, como C1=0, vem C2=1.
A segunda derivada dá y''(0)=C1+2C2+2C3=0, isto é 0+2cdot1+2C3=0 resultando em C3=-1.