Utilize o método de variação de parâmetros para resolver:
y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=e^x, y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''-3y''+3y'-y=e^x, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0
utilizando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea, depois construir a solução particular por variação de parâmetros e, por fim, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Começamos encontrando a solução complementar (homogênea). A equação característica é
r^3-3r^2+3r-1=(r-1)^3=0
Logo, temos raiz tripla r=1. Três soluções independentes são
y1=e^x, y2=xe^x, y3=x^2e^x
Assim a solução geral da homogênea é
yc=C1e^x+C2xe^x+C3x^2e^x

Passo 3

Para a variação de parâmetros, procuramos uma solução particular da forma
yp=u1(x),y1+u2(x),y2+u3(x),y3
Impondo as condições auxiliares
u1'y1+u2'y2+u3'y3=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''=e^x,
garantimos que só precisaremos resolver para ui'.

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
y_1=e^x\implies y_1’=ex,;y_1’’=ex;
y_2=xe^x\implies y_2’=(x+1)ex,;y_2’’=(x+2)ex;
y_3=x2ex\implies y_3’=(x2+2x)ex,;y_3’’=(x2+4x+2)ex.
Substituindo no sistema e dividindo por e^x obtemos
u1'+xu2'+x^2u3'=0, u1'+(x+1)u2'+(x^2+2x)u3'=0, u1'+(x+2)u2'+(x^2+4x+2)u3'=1

Passo 5

Subtraindo equações para eliminar u1' obtemos o sistema reduzido
u2'+2xu3'=0, u2'+(2x+2)u3'=1
Subtraindo a primeira da segunda dá 2u3'=1 logo u3'=1/2. Substituindo de volta, u2'=-x. E então de volta na primeira eq. original: u1'=x^2/2.

Passo 6

Integramos agora cada ui':
u1(x)= frac12 fracx^33= fracx^36,
u2(x)=-integral x,dx=-tfracx^22,
u3(x)=integraltfrac12,dx=tfracx2
Desprezamos constantes de integração pois buscamos apenas uma particular.

Passo 7

Construímos a solução particular:
yp=u1y1+u2y2+u3y3= fracx^36e^x-tfracx^22(xe^x)+tfracx2(x^2e^x)=tfracx^36e^x
Logo, a solução geral é
y(x)=yc+yp=e^xl(C1+C2x+C3x^2+tfracx^36r)

Passo 8

Faltam as constantes Ci. Usamos as condições iniciais:
Em x=0 temos y(0)=C1=0
A derivada y'=e^x(f+f') com f=C1+C2x+C3x^2+tfracx^36 leva a y'(0)=C1+C2=1 e, como C1=0, vem C2=1.
A segunda derivada dá y''(0)=C1+2C2+2C3=0, isto é 0+2cdot1+2C3=0 resultando em C3=-1.

Passo 9

Com C1=0,;C2=1,;C3=-1, a solução final é
boxedy(x)=e^xl(x -x^2+tfracx^36r)

Resposta

y(x)=e^x\Bigl(x -x2+\tfrac{x3}{6}\Bigr)

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