Resolva a equação diferencial:
y^prime+y=1e^x

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de primeira ordem y' + y = 1e^x. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Para uma EDO na forma y' + P(x),y = Q(x), o fator integrante é mu(x) = e^integral P(x),dx. Aqui temos P(x)=1, então
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^x:
e^x y' + e^x y = e^x cdot 1e^x = 1

Passo 4

Repare que o lado esquerdo é a derivada de e^x y, pois
ddx(e^x y) = e^x y' + e^x y
Logo a equação vira
ddx(e^x y) = 1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral 1,dx = x + C

Passo 6

Por fim, isolamos y dividindo por e^x:
y = e^-x(x + C) = x e^-x + C e^-x

Resposta

y(x) = e^-x(x + C)

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