Resolva a equação com dois módulos. Encontre todas as raízes reais possíveis:
|x-2|=|2 x+1|
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes reais da equação com valores absolutos
|x-2| = |2x+1|.
Informações dadas:
A equação envolve dois valores absolutos: |x-2| e |2x+1|.
Quer-se todas as soluções x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
O que é valor absoluto (uma revisão curta e prática).
Para qualquer número real a\), o valor absoluto \(|a|\) é definido por:
\[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que para resolver uma equação com módulos podemos dividir o problema em “casos” conforme o sinal das expressões dentro dos módulos. Outra forma útil (às vezes mais rápida) é usar que |A|=|B|\] implica \((A-B)(A+B)=0, ou seja, A=B ou A=-B. Vou usar o método por casos (mais elementar e seguro em provas), mas depois mostro rapidamente a ideia alternativa.]
Passo 3
Identificar os pontos onde o sinal de cada expressão muda (esses pontos delimitam os casos).
A expressão x-2 muda de sinal em x=2.
A expressão 2x+1 muda de sinal em 2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}.
Portanto, divido a reta real em três intervalos onde os sinais são constantes:
x<-{\tfrac{1}{2}},
-{\tfrac{1}{2}}\le x<2,
x\ge 2.
Vou resolver a equação em cada intervalo aplicando a definição de módulo.
Passo 4
Caso 1: x\ge 2.
Aqui x-2\ge 0 então |x-2|=x-2.
Também 2x+1\ge 2\cdot2+1=5>0 para x\ge2, logo |2x+1|=2x+1.
A equação fica
Verificação do intervalo: x=-3 não pertence a x\ge2. Logo, neste caso NÃO há solução válida.
Passo 5
Caso 2: -{\tfrac{1}{2}}\le x<2.
Aqui x-2<0 (pois x<2), então |x-2|=-(x-2)=2-x.
E 2x+1\ge 0 (pois x\ge -{\tfrac{1}{2}}), então |2x+1|=2x+1.
A equação passa a ser
2-x = 2x+1.
Resolver:
2-x = 2x+1 \Rightarrow 2-1 = 2x + x \Rightarrow 1 = 3x \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}.
Verificação do intervalo: \dfrac{1}{3} satisfaz -{\tfrac{1}{2}}\le \dfrac{1}{3}<2, portanto é uma solução válida. Conferindo substituindo na equação original:
isto gera duas equações lineares que conduzem a x=-3 e x=\tfrac{1}{3}. Ainda é preciso verificar que ambas satisfaçam a equação original (o que já fizemos nos passos anteriores). Esse método é mais curto, mas exige lembrar de verificar soluções quando se manipula quadrados.