Resolva a equação com dois módulos. Encontre todas as raízes reais possíveis:
|x-2|=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes reais da equação com valores absolutos
|x-2| = |2x+1|.
Informações dadas:
  • A equação envolve dois valores absolutos: |x-2| e |2x+1|.
  • Quer-se todas as soluções x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

O que é valor absoluto (uma revisão curta e prática).
  • Para qualquer número real a\), o valor absoluto \(|a|\) é definido por: \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que para resolver uma equação com módulos podemos dividir o problema em “casos” conforme o sinal das expressões dentro dos módulos. Outra forma útil (às vezes mais rápida) é usar que |A|=|B|\] implica \((A-B)(A+B)=0, ou seja, A=B ou A=-B. Vou usar o método por casos (mais elementar e seguro em provas), mas depois mostro rapidamente a ideia alternativa.]

Passo 3

Identificar os pontos onde o sinal de cada expressão muda (esses pontos delimitam os casos).
  • A expressão x-2 muda de sinal em x=2.
  • A expressão 2x+1 muda de sinal em 2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}.
Portanto, divido a reta real em três intervalos onde os sinais são constantes:
  1. x<-{\tfrac{1}{2}},
  2. -{\tfrac{1}{2}}\le x<2,
  3. x\ge 2.
Vou resolver a equação em cada intervalo aplicando a definição de módulo.

Passo 4

Caso 1: x\ge 2.
  • Aqui x-2\ge 0 então |x-2|=x-2.
  • Também 2x+1\ge 2\cdot2+1=5>0 para x\ge2, logo |2x+1|=2x+1.
    A equação fica
x-2 = 2x+1.
Resolver:
x-2=2x+1 \Rightarrow x-2x = 1+2 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x=-3.
Verificação do intervalo: x=-3 não pertence a x\ge2. Logo, neste caso NÃO há solução válida.

Passo 5

Caso 2: -{\tfrac{1}{2}}\le x<2.
  • Aqui x-2<0 (pois x<2), então |x-2|=-(x-2)=2-x.
  • E 2x+1\ge 0 (pois x\ge -{\tfrac{1}{2}}), então |2x+1|=2x+1.
    A equação passa a ser
2-x = 2x+1.
Resolver:
2-x = 2x+1 \Rightarrow 2-1 = 2x + x \Rightarrow 1 = 3x \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}.
Verificação do intervalo: \dfrac{1}{3} satisfaz -{\tfrac{1}{2}}\le \dfrac{1}{3}<2, portanto é uma solução válida. Conferindo substituindo na equação original:
\bigl|\tfrac{1}{3}-2\bigr| = \bigl|2\cdot\tfrac{1}{3}+1\bigr| \quad\Rightarrow\quad \bigl|-\tfrac{5}{3}\bigr| = \bigl|\tfrac{2}{3}+1\bigr| \quad\Rightarrow\quad \tfrac{5}{3} = \tfrac{5}{3},
ok.

Passo 6

Caso 3: x< -{\tfrac{1}{2}}.
  • Aqui x-2<0 (porque é ainda menor que 2), então |x-2|=2-x.
  • E 2x+1<0 (pela escolha do intervalo), então |2x+1|=-(2x+1)=-2x-1.
    A equação fica
2-x = -2x-1.
Resolver:
2-x = -2x-1 \Rightarrow 2+1 = -2x + x \Rightarrow 3 = -x \Rightarrow x = -3.
Verificação do intervalo: -3 < -{\tfrac{1}{2}}, então x=-3 pertence ao intervalo e é solução válida. Conferindo:
|-3-2| = |2(-3)+1| \quad\Rightarrow\quad |{-5}| = |{-6+1}| \quad\Rightarrow\quad 5 = 5,
ok.

Passo 7

Breve comentário sobre um método alternativo (útil para prova, opcional):
  • Como |A|=|B| implica A^2=B^2, pode-se escrever
(x-2)^2 = (2x+1)^2.
Subtraindo os dois lados e fatorando diferença de quadrados:
\bigl((x-2)-(2x+1)\bigr)\bigl((x-2)+(2x+1)\bigr)=0,
isto gera duas equações lineares que conduzem a x=-3 e x=\tfrac{1}{3}. Ainda é preciso verificar que ambas satisfaçam a equação original (o que já fizemos nos passos anteriores). Esse método é mais curto, mas exige lembrar de verificar soluções quando se manipula quadrados.

Resposta

-3
\tfrac{1}{3}

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