(Aplicação em Otimização de Processos) Em uma linha de usinagem, um engenheiro de produção determinou que o Índice de Qualidade
das peças fabricadas cai conforme o tempo de ciclo
(em segundos) se afasta do tempo de usinagem ideal, que é de 50 segundos. O modelo matemático empírico que descreve esse índice, em uma escala de 0 a 100, é dado pela seguinte função fracionária modular:
Para que um lote seja aprovado pelo Controle de Qualidade sem a necessidade de retrabalho, a norma interna da fábrica exige que o Índice de Qualidade seja de, no mínimo, 70.
(a) Escreva a inequação que garante a aprovação do lote. Em seguida, justifique algebricamente por que, neste contexto físico da fábrica, é permitido multiplicar ambos os lados da inequação pela variável
sem correr o risco de inverter o sentido da desigualdade.
(b) Resolva a inequação modular e determine o intervalo exato de tempo de ciclo
permitido para que o lote seja aprovado.
(c) Se a gerência emitir uma nova diretriz exigindo que o tempo de ciclo máximo não ultrapasse 60 segundos (visando o aumento da produtividade da linha), qual passará a ser o novo domínio válido de operação que atenda simultaneamente à Qualidade e à nova diretriz?
(a) Escreva a inequação que garante a aprovação do lote. Em seguida, justifique algebricamente por que, neste contexto físico da fábrica, é permitido multiplicar ambos os lados da inequação pela variável
(b) Resolva a inequação modular e determine o intervalo exato de tempo de ciclo
(c) Se a gerência emitir uma nova diretriz exigindo que o tempo de ciclo máximo não ultrapasse 60 segundos (visando o aumento da produtividade da linha), qual passará a ser o novo domínio válido de operação que atenda simultaneamente à Qualidade e à nova diretriz?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
- O enunciado fornece a função do Índice de Qualidade em escala 0–100:
onde
é o tempo de ciclo em segundos.
- A fábrica exige que o lote seja aprovado quando
. - Perguntas:
(a) Escrever a inequação que garante aprovação e justificar algebricamente por que é permitido multiplicar ambos os lados da inequação porsem inverter o sinal;
(b) Resolver a inequação modular e determinar o intervalo exato deque atende a ;
(c) Se houver a restrição adicional, qual é o novo domínio que satisfaz simultaneamente Qualidade e a diretriz de produção.
Passo 2
Escrevendo diretamente a inequação pedida em (a): exigir
dá
Esta é a inequação que garante a aprovação do lote.
Passo 3
Vou manipular a inequação passo a passo (aqui explico cada operação): subtraindo
de ambos os lados:
o que simplifica para
Passando o termo fracionário para o outro lado:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo, logo não inverte o sinal):
isto é
Ou, escrevendo de forma mais direta,
Passo 5
Agora vem a justificativa pedida em (a) sobre multiplicar por
: para eliminar o denominador podemos multiplicar ambos os lados por
, mas isso só é permitido sem inverter o sinal se soubermos o sinal de
. No contexto físico do problema
é tempo de ciclo em segundos, logo
. Ademais
não pode ser
porque aparece no denominador. Portanto, algebricamente e fisicamente temos
, o que garante que multiplicar por
preserva o sentido da desigualdade. Multiplicando
por
obtemos
Passo 6
Agora resolvemos a inequação modular
. A técnica padrão é separar em dois casos conforme o sinal do conteúdo do módulo.
Caso A:
(isto é,
). Aqui
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Juntando com a condição do caso (
) obtemos, para este caso,
Passo 7
Caso B:
(isto é,
). Aqui
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Juntando com a condição do caso (
) obtemos, para este caso,
Passo 8
Unindo as soluções dos dois casos (e lembrando que
já foi assegurado), o conjunto de
que satisfaz
é
Como
pertence ao segundo intervalo também, a união é o intervalo fechado
Verificação rápida nos extremos: para
tem-se
e para
tem-se
, então ambos os extremos são válidos.
Passo 9
Agora a parte (c): impor a diretriz
significa intersectar o intervalo da qualidade com
. Fazendo a interseção
porque
. Então o novo domínio operacional que atende simultaneamente à Qualidade e à diretriz de produtividade é
. Observação prática: todos os pontos desse intervalo são fisicamente admissíveis (tempo positivo) e satisfazem
.
Resposta
(a)
. Multiplicar por
é permitido sem inverter a desigualdade porque, no contexto físico,
(tempo de ciclo) e
.\n
(b) .\n
(c) .
(b)
(c)