(Aplicação em Otimização de Processos) Em uma linha de usinagem, um engenheiro de produção determinou que o Índice de Qualidade I(x) das peças fabricadas cai conforme o tempo de ciclo x (em segundos) se afasta do tempo de usinagem ideal, que é de 50 segundos. O modelo matemático empírico que descreve esse índice, em uma escala de 0 a 100, é dado pela seguinte função fracionária modular:
I(x)=100-\frac{120|x-50|}{x}
Para que um lote seja aprovado pelo Controle de Qualidade sem a necessidade de retrabalho, a norma interna da fábrica exige que o Índice de Qualidade seja de, no mínimo, 70.
(a) Escreva a inequação que garante a aprovação do lote. Em seguida, justifique algebricamente por que, neste contexto físico da fábrica, é permitido multiplicar ambos os lados da inequação pela variável x sem correr o risco de inverter o sentido da desigualdade.
(b) Resolva a inequação modular e determine o intervalo exato de tempo de ciclo x permitido para que o lote seja aprovado.
(c) Se a gerência emitir uma nova diretriz exigindo que o tempo de ciclo máximo não ultrapasse 60 segundos (visando o aumento da produtividade da linha), qual passará a ser o novo domínio válido de operação que atenda simultaneamente à Qualidade e à nova diretriz?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • O enunciado fornece a função do Índice de Qualidade em escala 0–100:
I(x)=100-\frac{120|x-50|}{x},
onde x é o tempo de ciclo em segundos.
  • A fábrica exige que o lote seja aprovado quando I(x)\ge70.
  • Perguntas:
    (a) Escrever a inequação que garante aprovação e justificar algebricamente por que é permitido multiplicar ambos os lados da inequação por x sem inverter o sinal;
    (b) Resolver a inequação modular e determinar o intervalo exato de x que atende a I(x)\ge70;
    (c) Se houver a restrição adicional x\le60, qual é o novo domínio que satisfaz simultaneamente Qualidade e a diretriz de produção.

Passo 2

Escrevendo diretamente a inequação pedida em (a): exigir I(x)\ge70
100-\frac{120|x-50|}{x}\ge70.
Esta é a inequação que garante a aprovação do lote.

Passo 3

Vou manipular a inequação passo a passo (aqui explico cada operação): subtraindo 70 de ambos os lados:
100-\frac{120|x-50|}{x}-70\ge0
o que simplifica para
30-\frac{120|x-50|}{x}\ge0.
Passando o termo fracionário para o outro lado:
30\ge\frac{120|x-50|}{x}.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 30 (que é positivo, logo não inverte o sinal):
1\ge\frac{120}{30}\cdot\frac{|x-50|}{x},
isto é
1\ge4\cdot\frac{|x-50|}{x}.
Ou, escrevendo de forma mais direta,
\frac{4|x-50|}{x}\le1.

Passo 5

Agora vem a justificativa pedida em (a) sobre multiplicar por x: para eliminar o denominador podemos multiplicar ambos os lados por x, mas isso só é permitido sem inverter o sinal se soubermos o sinal de x. No contexto físico do problema x é tempo de ciclo em segundos, logo x>0. Ademais x não pode ser 0 porque aparece no denominador. Portanto, algebricamente e fisicamente temos x>0, o que garante que multiplicar por x preserva o sentido da desigualdade. Multiplicando \frac{4|x-50|}{x}\le1 por x>0 obtemos
4|x-50|\le x.

Passo 6

Agora resolvemos a inequação modular 4|x-50|\le x. A técnica padrão é separar em dois casos conforme o sinal do conteúdo do módulo.
Caso A: x-50\ge0 (isto é, x\ge50). Aqui |x-50|=x-50. Substituindo:
4(x-50)\le x.
Desenvolvendo:
4x-200\le x.
Isolando x:
4x-x\le200\quad\Rightarrow\quad 3x\le200\quad\Rightarrow\quad x\le\frac{200}{3}.
Juntando com a condição do caso ( x\ge50) obtemos, para este caso,
50\le x\le\frac{200}{3}.

Passo 7

Caso B: x-50<0 (isto é, x<50). Aqui |x-50|=50-x. Substituindo:
4(50-x)\le x.
Desenvolvendo:
200-4x\le x.
Isolando x:
200\le5x\quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{200}{5}=\;40.
Juntando com a condição do caso ( x<50) obtemos, para este caso,
40\le x<50.

Passo 8

Unindo as soluções dos dois casos (e lembrando que x>0 já foi assegurado), o conjunto de x que satisfaz 4|x-50|\le x é
40\le x<50\quad\text{ou}\quad50\le x\le\frac{200}{3}.
Como x=50 pertence ao segundo intervalo também, a união é o intervalo fechado
\left[\,40,\frac{200}{3}\right].
Verificação rápida nos extremos: para x=40 tem-se I(40)=70 e para x=\frac{200}{3} tem-se I\bigl(\tfrac{200}{3}\bigr)=70, então ambos os extremos são válidos.

Passo 9

Agora a parte (c): impor a diretriz x\le60 significa intersectar o intervalo da qualidade com (-\infty,60]. Fazendo a interseção
\left[\,40,\frac{200}{3}\right]\cap(-\infty,60]=[40,60],
porque \tfrac{200}{3}\approx66{,}6>60. Então o novo domínio operacional que atende simultaneamente à Qualidade e à diretriz de produtividade é [40,60]. Observação prática: todos os pontos desse intervalo são fisicamente admissíveis (tempo positivo) e satisfazem I(x)\ge70.

Resposta

(a) 100-\dfrac{120|x-50|}{x}\ge70. Multiplicar por x é permitido sem inverter a desigualdade porque, no contexto físico, x>0 (tempo de ciclo) e x\neq0.\n
(b) \displaystyle \left[\,40,\frac{200}{3}\right].\n
(c) \displaystyle [40,60].

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