Determine o domínio da função real
abaixo. Para que a raiz quadrada seja definida nos reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero, o que recairá em uma inequação modular:
Passo 1
O enunciado dá a função
O que a questão pede: determinar o domínio de
, ou seja, o conjunto de todos os valores reais de
para os quais
está bem definida como número real. Informação relevante que o enunciado já lembra: para a raiz quadrada ser definida nos reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
Passo 2
Escrever explicitamente a condição para
. O radicando é
. Portanto a condição de existência real é
Esta inequação é equivalente a
Passo 3
Lembrete rápido sobre módulo (absoluto): para qualquer expressão
e qualquer
,
Aqui usamos
e
. Aplicando a propriedade obtém-se a inequação sem módulo:
Passo 4
Resolver a desigualdade composta passo a passo somando
em todos os membros:
que dá
Portanto todos os
entre
e
, inclusive, satisfazem a condição.
Passo 5
Verificação alternativa (método por partes) — só para ganhar segurança e ver a ideia do módulo de forma concreta:
-
Se
então . A condição fica , ou seja que leva a . Com e obtemos . -
Se
então . A condição fica , ou seja que dá . Com e obtemos .
Unindo os dois casos obten-se
, igual ao resultado anterior.
Passo 6
Checagem rápida dos extremos e de exemplos:
- Para
: , raiz é (permitido). - Para
: , também permitido. - Para
: , raiz é . - Para
: , radicando negativo → não permitido.