Determine o domínio da função real f(x) abaixo. Para que a raiz quadrada seja definida nos reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero, o que recairá em uma inequação modular:
f(x)=\sqrt{4-|x-3|}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{4-|x-3|}.
O que a questão pede: determinar o domínio de f, ou seja, o conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida como número real. Informação relevante que o enunciado já lembra: para a raiz quadrada ser definida nos reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Escrever explicitamente a condição para x. O radicando é 4-|x-3|. Portanto a condição de existência real é
4-|x-3|\ge 0.
Esta inequação é equivalente a
|x-3|\le 4.

Passo 3

Lembrete rápido sobre módulo (absoluto): para qualquer expressão u e qualquer a\ge 0,
|u|\le a \iff -a\le u\le a.
Aqui usamos u=x-3 e a=4. Aplicando a propriedade obtém-se a inequação sem módulo:
-4\le x-3\le 4.

Passo 4

Resolver a desigualdade composta passo a passo somando 3 em todos os membros:
-4+3 \le x-3+3 \le 4+3
que dá
-1\le x \le 7.
Portanto todos os x entre -1 e 7, inclusive, satisfazem a condição.

Passo 5

Verificação alternativa (método por partes) — só para ganhar segurança e ver a ideia do módulo de forma concreta:
  • Se x\ge 3 então |x-3|=x-3. A condição fica 4-(x-3)\ge0, ou seja 7-x\ge0 que leva a x\le7. Com x\ge3 e x\le7 obtemos 3\le x\le7.
  • Se x<3 então |x-3|=-(x-3)=3-x. A condição fica 4-(3-x)\ge0, ou seja 1+x\ge0 que dá x\ge-1. Com x<3 e x\ge-1 obtemos -1\le x<3.
Unindo os dois casos obten-se -1\le x\le7, igual ao resultado anterior.

Passo 6

Checagem rápida dos extremos e de exemplos:
  • Para x=-1: \,4-|{-1}-3|=4-|{-4}|=4-4=0, raiz é \sqrt{0}=0 (permitido).
  • Para x=7: \,4-|7-3|=4-|4|=0, também permitido.
  • Para x=3: \,4-|3-3|=4-0=4, raiz é \sqrt{4}=2.
  • Para x=8: \,4-|8-3|=4-5=-1, radicando negativo → não permitido.

Resposta

[-1,7]

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